Циклоида (от греч. κυκλοειδής — кругообразный) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.
Свойства:
1. Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2π r. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2π k, где k — произвольное целое число.
1. Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
2. Длина арки циклоиды равна 8 r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
3. Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды.
4. Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен 
.
5. «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
6. Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
7. Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
8. Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).
Уравнения
Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.
· Циклоида описывается параметрически:
x = rt − r sin t,
y = r − r cos t.
· Уравнение в декартовой прямоугольной системе координат:
Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 38 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |