Читайте также: |
|
Лемниската Бернулли — плоская кривая, геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Так же можно сказать, что Лемниската Бернулли- это плоская кривая, имеющая вид «восьмерки»; множество точек М, произведение расстояний r1 и r2 которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния. Алгебраическая кривая 4-го порядка, рассмотренная Я. Бернулли (1964 г).
Окружность. Эллипс
При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они - уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведение х·у (степени складываем - получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: - урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R; - уравнение гиперболы, - уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть - центр
окружности. R - радиус окружности. Пусть - произвольная точка окружности. Следовательно, = =
(1)
(1) - уравнение окружности радиуса R c центром в точке с координатами
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2 а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2 с, с > 0.
Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. е. - межфокусное расстояние эллипса.
Пусть - произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса.
По определению эллипса: r 1 + r 2 = 2 a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:
(2)
Умножим (2) на
(3)
Сложим уравнения (2) и (3):
(4)
Возведем (4) в квадрат:
Пусть
(5)
(5) - каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение
- каноническое уравнение эллипса с центром в точке
Числа а и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а >, если а <, то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а =, то эллипс превращается в окружность.
Точки, называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |