Читайте также: |
|
Вивчення інтегралів від виразу (4) при довільних коефіцієнтах a, b, c,…, звичайно, важко. Тому є природнім бажання звести усі ці інтеграли до небагатьох таких, до складу яких би входило при можливості менше довільних коефіцієнтів (параметрів).
це досягається за допомогою елементарних перетворень:
1. Зазначимо, на сам перед, що достатньо обмежитися випадком многочлена 4- го ступеня під коренем, адже до нього легко приводиться і випадок, коли під коренем многочлен 3- го ступеня. Дійсно, многочлен 3- го ступеня a +b +cx+d з дійсними коефіцієнтами необхідно має дійсний корінь, скажімо, λ- і,звідси випливає, припускає дійсний розклад
a +b +cx+d=a(x- λ)( +px+q).
Підстановка x- λ= (bkb x- λ=- ) і приводить нас до інтегралу
∫R(x, )dx= ∫R( + λ, t )2tdt.
2. Многочлен четвертого ступеня з дійсними коефіцієнтами можуть бути представленими у вигляді добутку двох квадратних трьохчленів з дійсними коефіцієнтами:
a +b +c +dx+e=a( +px+q)( +p'x+q'). (5)
Спробуємо тепер належною підстановкою знищити в обох тричленах одразу члени першого ступеня.
Якщо p=p', то наша ціль досягається простою підстановкою x=t- . нехай тепер p≠p'; у цьому випадку ми скористуємося дробно- лінійною підстановкою x= .
Можливість встановити дійсні і при тому різні значення для коефіцієнтів μ та ν, як ми бачили, обумовлена нерівністю ( -(p-p')(p'q-pq')>0. (6)
Ми вже довели, що ця нерівність у припущені, що один із тих тричленів, що розглядають має уявні корені, і це відігравало важливу роль у наших міркуваннях. Нехай тепер тричлени (5) обидва мають дійсні корені, скажімо, перший- корені α і β, а другий- корені γ і δ. Підставивши
p=-(α+β), q=αβ, p'=-(γ+δ), q'=γδ,
можна переписати (6) у вигляді
(α-γ)(α-δ)(β-γ)(β-δ) >0, (6')
а для здійснення цієї нерівності досить лише потурбуватися, щоб корені тричленів не перемежалися (аби α>β>γ>δ).
Таким чином, правильно обравши μ і ν, за допомогою вказаної підстановки ми отримаємо
∫R(x, )dx=∫R (, ) dt,
що також (якщо виключити випадки виродження, коли будь- який із коефіцієнтів M, N, M',N' виявляється нулем) можна переписати у вигляді
∫ (t, )dt,
При A, m та m' відмінних від нуля.
3. За допомогою попередніх міркувань, можна звести цей інтеграл з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого:
∫ dt.
Розкладемо тепер раціональну функцію на два доданки
(t)= + .
Перший не змінює свого значення при заміні t на –t, звідси випливає, що він зводиться до раціональної функції від : (); другий при вказаній заміні змінює знак, а тому має вид (.
Інтеграл, який ми розглядаємо можна представити в формі суми інтегралів
∫ +∫ .
Але другий підстановкою u= зразу приводиться до елементарного інтегралу
∫
і береться у кінцевому вигляді. Таким чином, наступним дослідженням належить лише інтеграл
∫ . (7)
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |