Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основная лемма.

Пусть G – конечная группа. Предположим, элементы G ведут себя, как подстановки множества S; это значит, что существует отображение G в симметрическую группу множества S. Другими словами gÎG мы поставим в соответствие подстановку множества S, которую обозначим через p_g. Предположим, что это отображение – гомоморфизм, т. е.

p_gg¢=p_g×p_g¢ (6)

для всех gÎG, g¢ÎG. Заметим, что различные элементы G не обязательно соответствуют различным подстановкам.

В нашем случае G порождает отношение эквивалентности на элементах множества S. Два элемента s₁, s₂ множества S называются эквивалентными, записывается s₁~s₂, если существует gÎG, такой что p_gs₁~s₂. В самом деле:

1. s~s, для всех sÎS [так как формула (6) показывает, что если e – единичный элемент группы G, то p_е – тождественная подстановка, т. е. оставляющая на месте все точки S].

2. Если s₁~s₂, то s₂~s₁ [так как формула (6) показывает, что если g¢=g^-1, то, ×p_g¢=(p_g)^-1].

3. Если s₁~s₂, s₂~s₃ то s₁~s₃ [так как если p_gs₁~s₂, p_g¢s₂~s₃, то p_g¢×g s₁= p_g¢(p_g s₁)= p_g¢(s₂)=s₃].

В нашем случае классы эквивалентности называют транзитивными множествами.

Лемма 1. Число транзитивных классов множества равно

,

где ½G½обозначает число элементов в группе G и для каждого g y(g) обозначает число элементов множество S, остающихся инвариантными при подстановках p_g, т.е. число элементов sÎS, для которых p_gs=s.

Доказательство.

Рассмотрим все пары (g,s), для которых gÎG, sÎS, p_gs=s. Число n таких пар может быть вычислено двумя способами. Во-первых, для каждого фиксированного g можно подсчитать число элементов s, удовлетворяющих условию p_gs=s, отсюда число пар

n= .

С другой стороны, для каждого sÎS можно подсчитать число элементов g со свойством p_gs=s. Обозначив это число через h(s), получим

= . (7)

Для фиксированного s элементы группы G, обладающие свойством p_gs=s, образуют подгруппу группы G, которую обозначим через G_s. Порядок этой группы равен h(s).

Если s_i эквивалентно s, то число элементов g, таких, что p_gs=s_i равно½G_s½. Это следует из того, что существует элемент hÎG, удовлетворяющий условию p_hs₁=s, а теперь равенство p_gs=s₁ означает то же самое, что и hgÎG_s. Таким образом, если s₁ и s фиксированы, то число возможностей для g равно как раз числу элементов в G_s.

Соответственно G может быть разбита на подмножества, каждое из которых состоит из ½G_s½элементов и соответствует ровно одному элементу того класса эквивалентности, в который входит s. Отсюда следует, что этот класс эквивалентности содержит ½G½/½G_s½элементов. Поэтому имеем

h(s)=

Суммируя по s, получаем, что сумма чисел h(s) для всех s, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, равны½G½. Следовательно, сумма всех h(s) равна взятому ½G½раз числу классов эквивалентности, т.е. формула (7) доказывает лемму.