Читайте также:
|
|
Метод прямоугольников.
Это простейший прием численного интегрирования, при котором функция заменяется интерполяционным многочленом нулевого порядка. Для повышения точности интегрирования отрезок разбивается на частей и формула прямоугольника применяется к каждому отрезку.
Обобщенная формула прямоугольников:
.
Более точным является вид формулы прямоугольников, использующих значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах). Геометрическая интерпретация модифицированного метода прямоугольников представлена на рис. 2.2.
Рис. 2.2.
Обобщенная формула:
,
где - значение второй производной в точке , где она максимальна.
Точностные оценки и сравнение формул интегрирования.
Оценка погрешности усечения рассмотренных формул численного интегрирования по выражениям для остаточных членов часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки производных высокого порядка подынтегральных функций. В силу этого на практике для достижения требуемой точности прибегают к методу последовательного удвоения числа шагов, состоящему в следующем. Задают значение допустимой погрешности и начальное число интервалов разбиения. Вычисляют величину интеграла по выбранной квадратурной формуле при числе интервалов и 2 (соответственно и ). По правилу Рунге оценивается погрешность приближенного значения интеграла
- для формулы прямоугольников и трапеций;
Если , количество интервалов разбиения увеличивают вдвое, т.е. значения интеграла вычисляются для последовательных значений . Вычисления заканчиваются при выполнении условия .
Этот прием позволяет осуществить автоматический выбор шага при заданной точности интегрирования. Интегрирование по квадратурным формулам сопровождается также ошибками округления. Они носят случайный характер, но с увеличением числа интервалов разбиения возрастают в среднем пропорционально . Вследствие этого общая погрешность, равная сумме погрешностей усечения и округления, с ростом числа интервалов разбиения уменьшается за счет уменьшения ошибки усечения лишь до некоторого значения . Затем погрешности округления преобладают и общая погрешность увеличивается.
В результате не для всякой функции можно получить результат с заданной погрешностью. Поэтому в программе может быть предусмотрено сообщение пользователю о недостижимости заданной точности. Интеграл при этом вычисляется с максимально возможной точностью, а программа выдает эту реальную точность.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Www.onto.ru | | | Методы прямоугольников |