Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Обратная матрица

Читайте также:
  1. Базовая матрица PEST-анализа
  2. Главное — то, что происходит, это обратная связь тебе
  3. Институциональная матрица социальной системы
  4. Матрица Ансоффа
  5. Матрица архетипов.
  6. Матрица БКГ
  7. Матрица БКГ
  8. Матрица взаимосвязи стратегических задач управления персоналом и стратегических целей и задач компании
  9. Матрица внешних приобретений
  10. Матрица вовлеченности Фута, Коуна и Белдинга (ФКБ)

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если , в противном случае при матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле

,

где - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е. .

Необходимость. Пусть матрица имеет обратную , т.е. . По свойству 10 определителей имеем: , т.е. и .

Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к . Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц. Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы. А произведение на равно той же матрице В: .

Единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы и такие, что и , где матрица получена по формуле и выполняются равенства и . Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.




Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 20 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц. | Свойства операций сложения и умножения матриц | Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца. | Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы | Линейная независимость строк матрицы | Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе. | N-мерный вектор и векторное пространство | Размеренность и базис векторного пространства | Решение системы линейных уравнений с неизвестными | Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса. |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав