Читайте также:
|
Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов 
, получаемой приписыванием к матрице 
столбца свободных членов 
:
.
Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида 
.
Пример. Методом Гаусса решить систему:
Выпишем расширенную матрицу системы.
Шаг 1. Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы 
стал равным 1.
Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом 
в первом столбце образовались нули.
Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на (–0,5).
Шаг 4. Поменяем местами вторую и третью строки.
Шаг 5. Поменяем местами второй и третий столбец. (Шаги 3, 4, 5 приведены с тем, чтобы 
).
Шаг 6. Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим их к элементам третьей строки, тогда под элементом 
появится нуль.
(называется расширенная матрица системы) 
.
Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система имеет вид:
Из последнего уравнения 
; из второго 
; из первого 
.
Таким образом, 
, 
, 
.
10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А –1 В).
Для получения решения системы при 
в общем виде предположим, что квадратная матрица системы 
невырожденная, т.е. ее определитель 
. В этом случае существует обратная матрица 
.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |