Читайте также:
|
|
1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■
2. Производная аргумента равна единице, т.е. .
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим функцию . При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.
.
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.
.
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:
1) Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .
2) Найдем приращение функции: .
3) Составим отношение , которое представим в виде: .
4) Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах:
На основании определения производной получили, что:
или . ■
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:
.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
(при условии, что ).
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
1) Дадим аргументу х приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .
2) Найдем приращение функции:
3) Составим отношение , которое представим в виде:
4) Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах: ■
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |