Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основные правила дифференцирования

Читайте также:
  1. Cхемы вязания спицами для начинающих: основные узоры и схемы
  2. I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
  3. I. Правила игры
  4. I. Прочитайте слова, соблюдая правила чтения гласных букв и буквосочетаний.
  5. II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ
  6. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ
  7. II. Правила идентификации объектов технического регулирования
  8. II. ПРАВИЛА ОБЩЕГО ПОРЯДКА
  9. III. Основные принципы патогенетической терапии вирусных гепатитов
  10. Quot;Недельные правила " можно оптимизировать

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно,

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим функцию . При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно,

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:

1) Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .

2) Найдем приращение функции: .

3) Составим отношение , которое представим в виде: .

4) Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах:

На основании определения производной получили, что:

или . ■

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(при условии, что ).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Дадим аргументу х приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .

2) Найдем приращение функции:

3) Составим отношение , которое представим в виде:

4) Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах:




Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Предел числовой последовательности | Предел функции в бесконечности и в точке | Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела | Свойства бесконечно малых величин | Второй замечательный предел. | Непрерывность функции | Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой . | Свойства функций, непрерывных на отрезке | Определение производной | Задача о касательной |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав