Читайте также:
|
Определение. Точка 
называется точкой максимума (минимума) функции 
, если существует окрестность точки 
такая, что для всех точек 
этой окрестности выполняется неравенство: 
, 
.
Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка 
- есть точка экстремума дифференцируемой функции 
. Тогда частные производные 
и 
в этой точке равны нулю.
Терема (достаточное условие экстремума). Пусть функция 
:
а) определена в некоторой окрестности критической точки 
, в которой 
и 
,
б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка 
, 
, 
.
Тогда, если 
, то в точке 
функция 
имеет экстремум, причем если 
(или 
) – максимум, если 
(или 
) - минимум. В противном случае функция экстремума не имеет. Если 
, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Схема исследования функции двух переменных на экстремум:
1) Найти частные производные функции 
и 
.
2) Решить систему уравнений 
и 
и найти критические точки функции.
3) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
4) Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Пример. Исследовать функцию 
на экстремум. Решение. Находим частные производные: 
, 
. Критические точки функции находим из системы уравнений: 
Решая систему, имеем одну критическую точку 
. Находим частные производные второго порядка: 
, 
, 
. Составляем 
. Так как 
и 
, то точка 
есть точка минимума.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 28 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |