Читайте также:
|
|
Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда:
. (7.1)
Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:
1) - линейного относительно , т.к. ;
2) - нелинейного относительно , т.к. .
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
. (7.2)
Пример. Найти приращение функции при и :
Решение. ,
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение. По формуле (7.2.) имеем .
Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
(7.3)
Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:
(7.4)
Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .
Геометрический смысл. На графике функции (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение . В точке проведем касательную, образующую угол с осью . Из треугольника : . Из имеем: . Таким образом, и соответствует формуле (7.1). |
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |