Читайте также:
|
|
При решении ряда математических задач, например в приложениях математики в экономике, приходится рассматривать суммы, составленные из бесконечного множества слагаемых. Эта проблема решается в теории рядов.
Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма
Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел соединенных знаком сложения: , (13.1)
где называются членами ряда, а - общим или -м членом ряда, - натуральные числа.
Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член .
Например, дан ряд общий член: .
Более сложной является задача: по нескольким членам написать общий член.
Пример. Найти общий член ряда . Решение. Нетрудно убедиться, что .
Определение. Сумма первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда.
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.
. (13.2)
Число называется суммой ряда, поэтому можно записать: . (13.3)
Определение. Если конечного предела последовательности частных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример. Исследовать сходимость геометрического ряда (составленного из членов геометрической прогрессии): .
Решение. Требуется установить, при каких значениях знаменателя прогрессии ряд сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса алгебры известно, что . Рассмотрим возможные варианты.
1) Если , то , , т.е. - ряд сходится.
2) Если , то , следовательно, и ряд расходится.
3) Если , то ряд примет вид , , , т.е. ряд расходится.
4) Если , то ряд примет вид , при - четном, при - нечетном, не существует и ряд расходится.
Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при .
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |