Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Читайте также:
  1. D) Бірінші болып сатып алынған /өндірілген/ босалқылардың құнын біріші кезекте есептен шығару көзделеді
  2. EMR - «Экономиканы мемлекеттік реттеу» пәні бойынша барлық мамандықтарға
  3. GТөмендегі өз нөміріңіз бойынша тақырыпқа сәйкес презентация құрыңыз.
  4. Аралық бақылауға дайындалу бойынша әдістемелік ұсыныстар
  5. Бәсекелік ортаны қалыптастыру және дамыту бойынша мемлекеттік шаралар
  6. БАЛАЛАР АУРУЛАРЫ» ПӘН БОЙЫНША АРНАЛҒАН ТЕСТ СҰРАҚТАРЫ
  7. Бап. Резиденттер мен резидент еместердiң валюталық операциялар бойынша төлемдерi және ақша аударымдары
  8. Бап. Резиденттер мен резидент еместердiң валюталық операциялар бойынша төлемдері және ақша аударымдары
  9. Бап. Экспорт (импорт) бойынша есеп айырысу
  10. Биохимия» пәні бойынша СӨЖ тапсырмалары

Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны және оның туындыларын байланыстыратын теңдікті атайды. Егер белгісіз функция тек бір ғана тәуелсіз айнымалыдан тәуелді болса, ондай теңдеуді жәй дифференциалдық теңдеу деп, ал бірнеше аргументтен тәуелді болса, ондай теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Теңдеуге кіретін туындылардың ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп саналады.

Жәй дифференциалдық теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі мынадай қатынаспен беріледі:

(1)

Мұндағы, -тәуелсіз айнымалы, -белгісіз функция, ал - оның туындылары.

Әдетте, теңдеудің ең жоғарғы реттегі туындысы бойынша шешілген түрі қарастырылады. Ол былай жазылады:

(2)

Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді тәуелсіз айнымалылардың санына байланысты әртүрлі етіп жаза беруге болады. Солардың ішінен екі тәуелсіз айнымалыға байланысты түрін мына түрде жазуға болады:

(3)

Мұндағы, – тәуелсіз айнымалылар, - белгісіз функция, ал - дербес туындылар.

Егер белгісіз функциялар бірнешеу болса, онда сол функциялар санына байланысты дифференциалдық теңдеулер жүйесі қарастырылады.

Дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуды интегралдау деп атайды. Жәй дифференциалдық теңдеудің шешімінің жазықтықтағы графигін интегралдық қисық деп атайды. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімінің кеңістіктегі геометриялық кескінін интегралдық бет деп атайды.

Біз бұл тарауда бірінші ретті жәй дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз және осы теңдеудегі тәуелсіз айнымалыны нақты деп есептейміз. Мұндай теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі төмендегі қатынаспен жазылады:

(4)

Мұнда х -тәуелсіз айнымалы, –белгісіз функция, -туынды, ал F -берілген функция. Осы теңдеудің туынды бойынша шешілген түрі былай жазылады:

(5)

Мұндағы, -жазықтықтағы кейбір D облысында үздіксіз бірмәнді анықталған функция деп есептелінеді.

Нақты сандар осінде -аралығын қарастырайық. Бұл аралық тұйық та, ашық та, ақырлы немесе ақырсыз да болуы мүмкін. Соңғы жағдайда болуы мүмкін.

Анықтама-1. аралығында анықталған функциясы (5) теңдеудің шешімі деп аталады, егер ол мынандай үш шартты қанағаттандырса:

1) функциясы аралығының барлық нүктесінде

дифференциалданатын болса;

2) ;

3) .

Ескерту-1. Егер аралығы тұйық немесе жартылай тұйық

болса, онда шешімнің сәйкес оңжақтық немесе солжақтық туындылары бар болуы шарт.

Ескерту-2. функциясы D облысында үздіксіз болғандықтан, функциясы аралығында үздіксіз болады.

Ескерту-3. Шешімнің анықталу облысының байланысты жиын

болуы қажетті шарт.

Мысалы, функциясы теңдеуінің шешімі бола алмайды, өйткені болғанда анықталмаған. Бұл жерде D облысы бүкіл ХОУ жазықтығы бола тұрып, екінші шарт орындалмайды. Бірақ, функциясы және аралықтарында шешім болады.

Кейбір жағдайларда (5) теңдеумен қатар оның аударылған түрі де қарастырылады:

(6)

Бұл теңдеу функциясы D облысының кейбір нүктесінің жақын аймағында шексіздікке айналып жататын жағдайда қарастырылады.

Егер шексіздікке ешқандай нүктеде жақындамаса, онда (5) және (6) теңдеулердің шешімдері, яғни олардың интегралдық қисықтары бір болады. Бұдан шығатын қорытынды: (5) теңдеудегі айнымалы х және у -тің кез келгенін тәуелсіз айнымалы деп қарастыруға болады да, екіншісін соған тәуелді функция деп алуға болады.

Сондықтан көп жағдайда (5) теңдеуді оның симметриялық түрінде жазады:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (7)

Мұндағы M(x,y) және N(x,y) функцияларын кейбір D облысында анықталған және үздіксіз деп есептейміз. Егер D облысындағы бір 00) нүктесінде

M(х00)=N(х00)=0 (8)

болса, онда ол нүктені ерекше нүкте деп атайды.

(7) теңдеуді (5) және (6) түрге келтірсек:

немесе (9)

түрінде жазамыз. Ал соңғы (9) қатынасты мына түрде жазуға болады:

. (10)

Осы (10) теңдеуді де дифференциалдық теңдеудің симметриялық түрі деп атайды.

 

Дифференциалдық теңдеудің шешімдері әдетте кез келген тұрақты санға байланысты болады. Сондықтан да дифференциалдық теңдеудің шешімдері шексіз жиын құрайды. Мысалы, теңдеуінің шешімін түрде жазуға болады. Мұндағы, С – кез келген тұрақты сан. Осы С санын өзгерте отырып, әртүрлі параболалар жиынын аламыз.

Практикалық есептерді шешкенде теңдеудің барлық шешімдерін табу емес, белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын шешімді табу талап етіледі. Осындай есептің бір түрі Коши есебі деп аталады. Ол былай қойылады: берілген (5) теңдеудің барлық шешімдерінің арасынан тәуелсіз айнымалының берілген мәнінде берілген у0 мәнін қабылдайтын, яғни

(12)

шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Қысқаша бұл есепті былай жазады:

(13)

Мұндағы, сандарын бастапқы мәндер, ал (12) теңдікті бастапқы шарт деп атайды. Осыған байланысты Коши есебін бастапқы есеп дейді.

Коши есебіне геометриялық түсініктеме беруге болады: (5) теңдеудің барлық интегралдық қисықтарының ішінен белгілі бір нүктесі арқылы өтетінін табу керек.

Коши есебінің мақсаты берілген шартты қанағаттандыратын бір шешімді табу болғандықтан, ол есептің шешімі қай кезде бар және жалғыз болады деген сұрақтың тууы орынды. Бұл сұраққа жауап беретін теоремаларды келесі бір бөлімде келтіреміз.

Жоғарыда айтылғандай, дифференциалдық теңдеуді интегралдау нәтижесінде кез келген тұрақты саннан тәуелді функция аламыз:

(14)

Мұндай шешімдер жиынтығын жалпы шешім деп атайды.

Анықтама-2. Айталық, облысы (5) теңдеудің Коши есебі шешімінің жалғыздық шарты орындалатын облыс болсын. Өзінің аргументтерінің кейбір облысында анықталған және х бойынша үздіксіз дифференциалданатын (14) функция (5) теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер ол төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

1) D облысында (14) теңдік С саны бойынша шешілсе, яғни

(15)

2) тұрақты санның (15) өрнекпен анықталған кез келген мәнінде (14) функция (5) теңдеудің шешімі болса.

Бұл анықтамадан Коши есебінің кез келген бастапқы мәнді қанағаттандыратын шешімін табуға болады. Шынында да, жалпы шешім (14) өрнекке бастапқы және сандарын қойсақ, онда

теңдігін аламыз. Анықтама бойынша бұл өрнек С саны бойынша шешіледі: . Осы табылған мәнді бастапқы (14) қатынасқа қойсақ,

өрнегін аламыз. Бұл іздеген шешіміміз болады.

 

 




Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 49 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер | Туындысы арқылы шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеуге қойылған Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теорема | Туындысы бойынша шешілмеген бірінші ретті теңдеулер | Актуальність теми | Ознайомитися із препаратами учбової колекції по темі, визначити їх приналежність до фармакологічної групи і показання до використання. | Задача 7 | Для проведення практичного заняття №12/2 |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав