Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Туындысы арқылы шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеуге қойылған Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теорема

Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің Коши есебін қанағаттандыратын шешімнің бар болуы және оның жалғыздығы қарастырайық.

Сонымен, бірінші ретті теңдеудің қалыпты түрін алайық:

, (1)

мұндағы, функциясы жазықтықтағы кейбір тұйық облысында анықталсын. Осы теңдеу үшін бастапқы

(2)

шартын қанағаттандыратын шешімді табу есебі қойылсын. Бұл жерде нүктесі сол облысының ішінде жатады деп есептелінеді, ал облысын, әдетте, төртбұрыш түрінде алады:

(3)

мұндағы, және - белгілі оң сандар.

Теорема-1. Егер функциясы облысында төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

1) екі аргументі бойынша үздіксіз, сондықтан ол шектелген:

2) аргументі бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни кез келген екі нүкте үшін

(4)

теңсіздігі орындалады, , онда бастапқы (2) шартты қанағаттандыратын, аралығында анықталған үздіксіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешім бар болады.

Дәлелдеуі.

Алдымен Коши есебінің интегралдық теңдеуге пара-пар екендігін көрсетейік.

Айталық, функциясы (2) шартты қанағаттандыратын,

кесіндісінде анықталған (1) теңдеудің шешімі болсын:

Соңғы тепе-теңдікті х₀ -ден х -қа дейін интегралдасақ, мынандай тепе-теңдік аламыз:

Бұдан функциясының

(5)

интегралдық теңдеудің шешімі болатынын көреміз.

Енді керісінше, функциясы (5) теңдеудің шешімі болсын:

Бұдан болатынын көреміз. Егер осы тепе-теңдікті дифференциалдасақ,

тепе-теңдігін аламыз.

Бұдан шығатын қорытынды – Коши есебінің шешімін табу үшін

интегралдық теңдеудің шешімінің барлығын және жалғыздығын дәлелдесек жеткілікті.

Интегралдық теңдеудің шешімін біртіндеп жуықтау әдісімен іздейміз. Бұл әдісті Пикар әдісі деп те атайды.

Бастапқы нөлдік жуықтау ретінде ізделініп отырған функцияның алғашқы y₀ мәнін аламыз да, бірінші жуықтау үшін

(6)

өрнегін жазамыз, ал екінші жуықтау үшін

(7)

өрнегін жазамыз. Жалпы, кез келген -ші жуықтауды мына түрде жазамыз:

(8)

Мұнда . Осы кесіндіні Пеано кесіндісі деп атайды.

Енді алынған {y_n} тізбегінің әрбір мүшесі берілген облыстың ішінде жататынын көрсетуіміз керек. Айнымалы -ты Пеано кесіндісінде өзгереді деп, жуықтаулардың бастапқы мәннен ауытқуларын есептейік.

Алдымен,

Екінші жуықтау үшін:

Жалпы, кез келген -ші жуықтау үшін төмендегідей теңсіздік аламыз:

(9)

Бұл теңсіздіктер тізбектің барлық мүшелері D облысының кейбір кішірейген облысының ішінде