Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача №1. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции и точку пересечения её диагоналей, делит пополам основания трапеции.

Дано: ABCD – трапеция,

Доказательство. I способ.

Пусть К – точка пересечения боковых сторон трапеции. Обозначим через М и N середины оснований BC и AD соответственно.

и

Т.к. любая прямая, проходящая через точку К, делит основания трапеции в одном и том же отношении (считая от вершины А или В соответственно). Отсюда следует, что точки К, M, N лежат на одной прямой.

Точно также всякая прямая, проходящая через М делит AD и BC в одном и том же отношении (считая от А или В), значит, точки M, O, N тоже находятся на одной прямой.

Таким образом, все четыре точки M, N, O, K лежат на одной прямой, ч.т.д.

II способ.

Проведем прямую KN (N – середина AD), докажем, что .

и по двум углам ( - общий, , )

, т.к. M – середина BC.

Проведем прямую ON

, как накрест лежащие углы)

,ч.т.д.

III способ.

Из теоремы Чевы для и точки О:

, тогда

По теореме Фалеса:

и по двум углам ( - общий, , )

, ч.т.д.