Читайте также:
|
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции
F'(x) = f(x).
Обозначение
где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла
1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.
3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то
4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.
2. Метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле 
.
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) 
, где 
;
б) 
, где ;
в) 
, где 
;
г) 
, где 
.
Метод подстановки.
Пусть требуется найти 
, причем непосредственно подобрать первообразную для 
мы не можем, но нам известно, что она существует. Часто удается найти первообразную, введя новую переменную, по формуле
, где 
, а 
- новая переменная.
3. Определение. Функция вида 
, где 
и 
- многочлены, называется дробно-рациональной функцией.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:
.
4. Интегрирование иррациональных функций
Интеграл вида 
, где 
– рациональная функция
Подынтегральная функция с помощью подстановки 
, 
, где 
– наименьший общий знаменатель дробей 
, преобразуется в рациональную функцию от 
.
5. 1°. Интегралы вида
находятся с помощью тригонометрических формул
2°. Интегралы вида
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени
Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
6. Задача о пройденном пути.
Задача о площади криволинейной трапеции.
7. Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где 
) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Частные производные высших порядков. | | | Геометрический смысл |