Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЧИСЛО Е

ЧИСЛО e. Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e^–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/ k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/ k. Величина 0,693/ k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно log _e 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Ne^kt. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I ₀ e^–kt, где k = R/L, I ₀ – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/ k часто называют временем релаксации. В статистике величина e^–kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Se^tr /100.

Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log₁₀ x равна (1/ x)log₁₀ e, тогда как производная от log _e x равна просто 1/ x. Аналогично, производная от 2 ^x равна 2 ^x log _e 2, тогда как производная от e^х равна просто e^x. Это означает, что число e можно определить как основание b, при котором график функции y = log _b x имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = b^x имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1. Логарифмы по основанию e называются «натуральными» и обозначаются ln x. Иногда их также называют «неперовыми», что неверно, так как в действительности Дж.Непер (1550–1617) изобрел логарифмы с другим основанием: неперов логарифм числа x равен 10⁷ log_{1/ e} (x /10⁷) (см. также ЛОГАРИФМ).

Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции

График функции y = ch x называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера

где i ² = –1, связывают число e с тригонометрией. Частный случай x = p приводит к знаменитому соотношению e^ip + 1 = 0, связывающему 5 наиболее известных в математике чисел.

При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):

Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783).

Десятичное разложение числа e непериодично (e – иррациональное число). Кроме того, e, как и p, – трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ;НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ; ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ; ЧИСЛО p; РЯДЫ.

Критерий Коши сходимости последовательности

Из определения сходимости последовательности к точке a вытекает, что для любого интервалом длиной 2 можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке . Справедливо и обратное: если последовательность такова, что для любого можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно.

Определение. Подпоследовательность называется последовательностью Коши или фундаментальной, если

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть сходится.

Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и .

Так как последовательность фундаментальна, то , в -окресности которой существуют все элементы .

Предположим, .

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. - ограничена.

Вследствие теоремы Больцано-Вейерштрасса () < ().

в силу произвольности

Категория: