Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения касательной и нормали к кривой.

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M (x₀, y₀), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy. Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k = f '(x₀), то получаем уравнение y = f '(x₀)· x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x₀, y₀). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y₀ = f ' (x₀) · x₀ + b. Отсюда b = y₀ – f '(x₀)· x₀. Таким образом, получаем уравнение касательной y = f '(x₀)· x + y₀ – f '(x₀)· x₀ или y = f '(x₀)·(x – x₀) + f(x₀) Если касательная, проходящая через точку М (x₀, y₀) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x₀. Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент k_n связан с угловым коэффициентом касательной k равенством: . Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M (x₀, y₀ ), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид: Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е. f '(x₀) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y₀, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x₀.