Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференциальные уравнения.

Читайте также:
  1. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты
  2. Дифференциальные защиты.
  3. Дифференциальные уравнения первого порядка.
  4. Дифференциальные уравнения первого порядка.
  5. Дифференциальные характеристики векторного поля
  6. Контрольная работа №4 Дифференциальные уравнения
  7. Контрольная работа №4 Дифференциальные уравнения
  8. Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравнения n –ого порядка с переменными коэффициентами.
  9. Лекции 17-18. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

·Дифференциальные уравнения основных процессов представляют собой мат. формулировку законов сохранения.

Входящие в уравнения переменные представляют собой удельные величины, т.е. величины, отнесенные к единице объема или массы (например, плотность, концентрация, энергия, энтальпия).


 

·Дивергенция

Пусть J – поток некоторой величины Ф;

 

,

,

V = (i u + j v + k w)

 

Рис.2. Баланс потоков через контрольный объем.

 

 

 

· Для стационарного процесса div(J) = 0,

Если величина Ф меняется во времени, то изменение потока

(2.1)

Производная по времени описывает скорость изменения свойства Ф в единицу времени.

 

Если в объеме есть источники, то

(2.2)


Закон сохранения концентрации химической компоненты

 

Пусть Ф= mi – массовая концентрация компоненты i,

J = r V mi + Г i, где Г i – диффузионный поток компоненты i.

Согласно закону Фика

Г i = -D i grad(Ф) = -D i grad(mi) =

 

 

Уравнение энергии

 

· будем полагать, что скорость течения мала, подвод тепла от трения пренебрежимо мал

Ф= h – удельная энтальпия, h = CpT

J = r V h - grad(T)

k – коэффициент теплопроводности

подставляя Ф и J в уравнение (2.1) получим


Таким образом, мы можем записать общий вид дифференциального уравнения

Это уравнение записано в векторной форме;

В тензорной форме это уравнение имеет вид

Это сокращенная форма записи; в декартовых координатах i=1,2,3, j =1, 2, 3. Если индекс повторяется, то это означает суммирование, например,

Уравнение неразрывности в принятых обозначениях запишется

Диффузионная часть потока в тензорной форме запишется:


Л.2

===================================

 

1. Основы численных методов решения уравнений газовой динамики.

 

1.1. Уравнения газовой динамики. Тензорная запись уравнений.

 

Мы запишем систему уравнений для решения задач газовой динамики в упрощенном виде. Во-первых, для несжимаемой жидкости, во-вторых, для плоского (2D) течения. Выглядит эта система так

 

Первые два уравнения – это уравнения движения в проекции на координатные оси, третье уравнение – уравнение неразрывности.

Напомню о тензорной записи этой системы. Тензорная запись получается короче, поэтому мы будем ее использовать.

Будем обозначать координатные оси х1, х2, х3;

компоненты вектора скорости u1, u2, u3;

Тогда

и т.д.

Таким образом, уравнение неразрывности мы можем записать

При записи уравнении движения будем использовать 2 индекса, первый индекс относится к оси, в проекции на которую записано уравнение, а второй – изменяется в соответствии с компонентой вектора скорости. Два уравнения мы запишем, таким образом, как одно.

(Расшифровка записи).

 

Как решать эту систему уравнений?


1.2. Основы численных методы решения дифференциальных уравнений.

 

Метод Эйлера приближенного решения ОДУ.

 

Пусть f(y,t)=-y

Точное решение такого уравнения y=Cet

Перейдем от производных к конечным разностям

 

i+1
i
i-1

 

Пусть ti-ti-1=Const,

Тогда получим

yi= yi-1(1+Dt)

результаты расчета по этой формуле




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 28 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Устойчивость. | Как влияет число Куранта на устойчивость разностной схемы. | Консервативность разностных схем. |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав