Читайте также:
|
Определение. Точка 
называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции 
, если в некоторой окрестности точки 
, для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: 
(или 
). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.
Обозначим приращение функции через 
, тогда можно переформулировать определение экстремума:
Точка называется точкой максимума непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки приращение функции 
строго отрицательно, 
. Аналогично, - точка минимума, если 
.
Теорема. «Необходимое условие экстремума функции многих переменных». Если дифференцируемая функция достигает в точке экстремума, то все частные производные функции в этой точке обращаются в 0:
.
Так как полный дифференциал функции 
это сумма произведений частных производных на дифференциалы аргументов, то можно сказать, что необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю полного дифференциала этой функции в точке экстремума: 
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются стационарными. Следовательно, если - точка экстремума функции 
, то либо - стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема.
Теорема. «Достаточное условие экстремума функции многих переменных». Трижды дифференцируемая в стационарной точке 
функция :
Имеет в этой точке экстремум, если дифференциал второго порядка функции в точке знакопостоянен и обращается в 0 только при выполнении условия: 
. Причем, точка является точкой максимума, если 
и, - точкой минимума, если 
.
Если дифференциал второго порядка меняет знак в окрестности , то точка не является точкой экстремума.
Если дифференциал второго порядка не меняет знак в окрестности точки , но обращается в 0 при некоторых наборах значений 
, среди которых есть отличные от 0, то функция в точке может иметь экстремум, а может и не иметь его (в этом случае необходимо дополнительное исследование).
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 32 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |