Читайте также:
|
|
Пусть заданы функции и и существуют и , тогда существует и
.
Если – некоторое число и существует , тогда существует и
Если область состоит из двух непересекающихся областей , и в каждой из областей существует двойной интеграл, то
.
Замечание. Для доказательства следует написать сумму Римана и включить в разбиение линию границы областей, тогда можно разбить сумму на две, соответствующие этим областям.
Двойной интеграл от постоянной величины равен этой величине, умноженной на площадь области интегрирования
.
Двойной интеграл от знакопостоянной функции есть число того же знака, что и функция
, если .
Неравенство между функциями можно интегрировать: , если и функции и не являются тождественно равными.
Абсолютная величина двойного интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции
.
Если всюду в области функция такова, что справедливо неравенство , то , где - площадь области.
Теорема о среднем.
Если и непрерывны в области и знакопостоянна, тогда справедлива формула , где определенная точка в области интегрирования.
Доказательство: Пусть в области . Обозначим через и наибольшее и наименьшее значение в области : .
Умножим на и проинтегрируем полученное неравенство по области :
или ,
где .
Так как непрерывна в , то должна существовать, по крайней мере, одна точка, где , т.е. , что и требовалось доказать. Кроме того, если положить , то .
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 24 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |