Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальные характеристики векторного поля

Пусть векторное поле описывает стационарное поле скоростей потока несжимаемой жидкости, протекающей через область . Требуется определить количество жидкости, протекающее за единицу времени через гладкую двустороннюю поверхность , находящуюся в заданном потоке.

Выберем сторону поверхности (т.е. укажем на ней определенное направление нормали). Разобьем поверхность на элементарные площадки , , при этом, как обычно, через обозначим мелкость этого разбиения. Каждую площадку будем считать плоской, а значение вектора в каждой ее точке одним и тем же. Тогда количество жидкости , протекающее через площадку в направлении нормали , вычисляется по формуле

,

где - угол между и единичной нормалью к , а через обозначена площадь элементарной площадки .

Запишем в обозначениях скалярного произведения , которое вычисляется в некоторой точке . Просуммируем обе части этого равенства:

и перейдем к пределу, когда . В левой части этого равенства получим общее количество жидкости , протекающее за единицу времени через поверхность , а в правой части получим поверхностный интеграл второго рода. Таким образом, .

Определение. Независимо от физического смысла поля интеграл

называют потоком векторного поля через поверхность в направлении нормали .

Если - замкнутая поверхность, то поток поля обозначают

.