Читайте также:
|
Рассмотрим две функции: y 1 = f 1(x) и y 2 = f 2(x), которые имеют производные f 1 ¢ (x) и f 2 ¢ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение D x. Тогда функции получат соответственно приращения D y 1 = f 1(x + D x) f 1(x) и D y 2 = f 2(x + D x) f 2(x). Из графиков, изображенных на рисунке 6, видно, что в обоих случаях приращения D y 1 и D y 2 можно представить в виде сумм двух слагаемых:
D y 1 = (C 1 - A 1) + (B 1 - C 1); D y 2 = (C 2 - A 2) + (B 2 - C 2) (5)
Рис. 6
Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (5) легко вычисляются из сходных формул: C 1 – A 1 = tg a 1 D x = f 1 ¢ (x)D x; C 2 – A 2 = tg a 2 D x = f 2 ¢ (x)D x.
Величина f¢ (x) D x называется главной частью приращения функции y = f (x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента D x (можно сказать – пропорциональна приращению D x). Это означает, что если приращение аргумента D x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.
Формулы (5) можно переписать в виде:
D y 1 = f 1 ¢ D x + r 1; Dy 2 = f 2 ¢ D x + r 2. (6)
Здесь r 1 = B 1 – C 1; r 2= B 2– C 2.
Величины r 1 и r 2 в формулах (6) при уменьшении D x в k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 6 и 7, и говорят, что r 1 и r 2 стремятся к нулю быстрее, чем D x.
Рис. 7
Назовем функцию 
бесконечно малой в точке z = z 0, если 
.
Пусть функции и 
являются бесконечно малыми в точке z = z 0. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция , если 
.
Величины r 1 и r 2 в формулах (2) являются функциями аргумента D x, бесконечно малыми в точке D x = 0. Можно показать, что 
. Это означает, что функции r 1(D x) и r 2(D x) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем D x, в точке D x = 0.
Таким образом приращение функции y = f (x)в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде
D y = f¢ (x) D x +b (D x),
где b (D x) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем D x, в точке D x = 0.
Главная, линейная относительно D x,часть приращения функции y = f (x), равная f¢ (x) D x, называется дифференциалом и обозначается dy:
dy = f¢ (x) D x. (7)
Если сюда подставить функцию f (x) = x, то, так как x¢ = 1, формула (7) примет вид: dx = D x. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (7) можно переписать так
dy = f¢ (x) dx.
Отсюда следует, что
,
то есть производная функции f (x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.
Очевидны следующие свойства дифференциала.
1. 
(здесь и в следующей формуле C постоянная);
2. 
;
3. Если существуют df (x) и dg (x), то d (f (x) + g (x)) = df (x) + dg (x), 
. Если при этом g (x) ¹0, то 
Пусть y = f (x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df (x) = f¢ (x) dx. Если аргумент x является функцией x (t) некоторой независимой переменной t, то y = F (t) = f (x (t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле 
. Однако по определению дифференциала x¢ (t) dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f¢ (x) dx.
Таким образом если аргумент функции y=f (x)рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство D x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f (x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 28 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |