Читайте также: |
|
D[x]=
Найдем для x~N(m, ) P{a<x<b}
P{a<x<b}=
В частном случае P{/X-m/<l}=2Ф(l/ )-1
18. Случайный вектор. Функции совместного распределения вероятностей, её свойства.
19. Дискретный случайный вектор. Связь закона распределения двумерного случайного вектора с законами распределения его компонент. Независимость случайных величин. Условные законы распределения.
21. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства.
22. Начальные и центральные моменты
Опр. Начальным моментом k-ого порядка X называется число
α k [X]=M[X ]
1) α 1 [X]=M[X]
2) X – СВДТ => α k [X]=∑ X p
Опр. Центр. моментом k-ого порядка X называется число
μ k [X]=M[(X-M[X]) ]
1) Сл.величина X-M[X]=X (с точкой сверху) наз-ся центрир. случ. величиной.
2) μ 1 [X]=0
Связь между α k [X] и μ k [X].
μ k =M[(X-M[X]) ]= M[ X (-1) (M[X]) ]=
= M[X ](M[X])
=> μ k [X] = α j [X] * α [X]
23. Дисперсия случайной величины
Опр. Дисперсией случ.величины X назыв. ее второй центральный момент μ 2 [X]:
D[X] = M[(X-M[X]) ]
Для X – СВДТ: D[X] = p i
D[X] характеризует степень рассеяния, разбросанности значений X вокруг M[X].
Опр. Среднеквадратическим отклонением X назыв. число T[X] =
Свойства:
1. D[X] больше, либо равно 0
2. D[C] = 0, C=const
3. D[X] = M[X ]-M [X]
4.D[cX] = c D[X]
5.Если X и Y независимы, то D[X+Y] = D[X]+D[Y]
D[X+Y] = M[(X+Y-M[X+Y]) ] = M[(X-M[X]+Y-M[Y]) ] =
= M[(X-M[X]) ]+M[(Y-M[Y]) ] + 2M[(X-M[X])]*M[(Y-M[Y])] =
= D[X] + D[Y] | M1=0 | | M1=0 |
24. Мат.ожидание и дисперсия СВНТ
Опр. Пусть X – СВНТ с функцией плотности f x (x), причем f x (x)dx сходится абсолютно, тогда мат. Ожиданием X называется число M[X] = f x (x)dx
Опр. Пусть X – СВНТ с функцией плотности f x (x), причем f x (x)dx сходится абсолютно, тогда дисперсией X называется число: D[X] = f x (x)dx
Замечание.
1)M[X] для X – СВНТ обладает теми же свойствами, что и для X-СВДТ
2)Опр-е нач. и центр. моментов сохр. на случай непр. случ. величины. Их свойства зависят от свойств M[X].
П1. X~N(m,τ);M[X] -?
M[X] = dx=…= m = M[X]
П2. X~N(m,τ);D[X] -?
D[X] = = dx=… =
25. Функция случайной величины.
26. Характеристики распределения случайной величины: мода, медиана, квантили, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
27. Характеристическая функция случайной величины, её свойства.
28. Характеристические функции биноминального, пуассоновского и нормального распределений вероятности.
Биномиальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в Теории массового обслуживания.
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний
№29 Композиционая устойчивость
Опр.: Пусть X1 и Х2 распределены по одному и тому же закону (возможно с разными параметрами) и независимы. Если при этом Х1+Х2 распределена по тому же закону, то говорят, что данный закон композиционно устойчив.
П1: , и Х1,Х2 независимы
• , . Т.к. Х1 и Х2 независимы: => •
Т.е. при фиксированном значении p з-н B(n,p) композиционно устойчив.
П2: ,
• , . Т.к. Х1 и Х2 независимы: => •
П3: , и Х1,Х2 независимы
• , => •
№30 Ковариация двух случайных величин:
Опр: Ковариацией Х и Y называется число (если ):
сov[X,Y] = M[(X-M[X])(Y-M[Y])]= M[Ẋ,Ẏ].
Св-ва:
1) сov[X,Y] = сov[Y,X]
2) сov[X,X] = D[X]
3) сov[X,Y1+Y2] = сov[X,Y1] + сov[X,Y2]
4) сov[C*X,Y]= C* сov[X,Y]
5) D[X+Y]=D[X] + D[Y] + 2 сov[X,Y]
6) |сov[X,Y]| ≤
• 0≤ D[tX+Y] = t^2*D[X] + D[Y] + 2t*cov[X,Y]
= 4 (сov[X,Y])^2 – 4* D[X]*D[Y] => |сov[X,Y]| ≤ •
№31 Коэффициент корреляциии.
Опр: Коэффициентом корреляции называется число:
Св-ва:
1)
2) Если X и Y независимы => (обратное неверно)
•cov[X,Y]=M[XY] – M[X]M[Y] = |тк Х и Y независимы|= M[X]M[Y] – M[X]M[Y] =0 => •
3) Если Y=aX+b, то
• Пусть M[X] = m, D[X]= тогда M[Y] = am+b, D[Y]=
cov[X,Y] = M[(X-m)(ax+b – (am+b))] = a* M[(X-m)^2] =
•
Замеч: Если X и Y независимы, то . Если Х и Y лин. зависимы . Поэтому используется в качестве меры линейной зависимости Х и Y. Если – зависимость слабая. Если - зависимость сильная. Если - то при росте одной случайной величины, другая в среднем растет.
№32 Распределения
Опр: Пусть Xi – независимые случайные величины, . Тогда случайная величина имеет распределение («хи-квадрат») с n степенями свободы -
Св-ва:
1) M[Y]=n; D[Y]=2n
2) Рисуем графики (оси: f (x) и ось «х»)...n2>n1 хотя n2 более пологий и лежит ниже n1
Опр: Пусть случ. величины и независимы. Тогда случ. величина Y распределена по закону Стьюдента: с n степенями свободы. .
1) Рисуем графики (оси: St (x) и ось «х»)...n1>n2 - n2 более пологий и лежит ниже n1
2) При St(0,1) приближается к N(0,1)
Опр: Пусть и - независимые случайные величины. Тогда распределена по закону Фишера со степенями свободы n1 и n2
Св-во: Пусть Fn1,n2,p – квантиль распределения F(n1,n2) порядка p, тогда Fn1,n2,(1-p) = 1/ Fn1,n2,p
№33 Неравенства Чебышева
Теорема 1 (1ое неравенство Чебышева):
Пусть Х – случайная величина, . Тогда
• Рассмотрим случайную величину
Очевидно, или ;
•
Теорема 2 (2ое неравенство Чебышева):
Пусть Х-случайная величина, , . Тогда
• Рассмотрим непр. Х:
•
№34 Закон больших чисел(теорема Маркова):
Опр: Говорят, что последовательность случ. величин сходится по вероятности к числу a (), если (или )
Теорема Маркова:
Пусть последовательность случ величин удовлетворяет условиям: и . Тогда , т.е. .
•Обозначим , , . Применяем второе неравенство Чебышева:
•
№35 Следствия из закона больших чисел
1) Теорема Чебышева
Пусть – последовательность независимых или попарно некоррелированных случ. величин(*).: и . Тогда Тогда
2) Пусть - последовательность одинаково распр. случ. величин, удовл. условию (*).
, . Тогда или
3) Пусть , т.е - число успехов в серии n испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда , т.е
•
Xk | ||
p | q | p |
по следствию (2)•
№36 Центральная предельная теорема
Опр: Пусть - последовательность случайных величин. Говорят, что случайная величина имеет асимптотическое нормальное распределение с параметрами при , если для . - функция Лапласа. Обозн: .
Теорема:
Пусть последовательность удовлетворяет условиям:
1) - независимы.
2) - одинаково распределены
3) ,
Тогда для справедливо .
Замечания:
1)При достаточно больших n - , т.е. сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному.
2) Условие (2) не является принципиальным. Если , , то при некоторых требованиях вместо условия (3) при больших n имеем:
, т.е. и в этом случае сумма достаточно большого числа случайных величин распределена приблизительно нормально.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 55 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |