Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пр.1.4. Парабола и ее свойства

Определение Пр.1.4.1.

Кривая, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет вид , называется параболой.

Определение Пр.1.4.2.

Точка называется фокусом параболы.   Прямая называется директрисой параболы.   Число p называется фокальным параметром параболы.

Свойства параболы иллюстрируются рис. Пр.1.4.1., на котором через обозначим угол между касательной и фокальным радиусом, а через угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

y

B

D A

a

b O x

F

Рисунок Пр.1.4.1.

Свойства параболы:

1°. Парабола - неограниченная кривая, существующая для ;

2°. Парабола L обладает осевой симметрией относительно оси Ox, что вытекает из отношения

,

очевидного для канонического уравнения параболы.

3°. Для параболы имеет место монотонное возрастание абсолютной величины ординаты при возрастании абсциссы, причем в нуле касательная к параболе вертикальна.

Теорема Пр.1.4.1.

Пусть A = есть точка, принадлежащая параболе L, заданной каноническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения: 1°. ; 2°. ;   3°. ; 4°. ; 5°. .

Доказательство:   1°. Имеем , используя каноническое уравнение, получаем , но поскольку , приходим сразу к справедливости утверждений 1° и 2°.   Справедливость 3° докажите самостоятельно.   4°. Наконец, .   5°. Доказательство приводится после доказательства теоремы Пр.1.4.2.   Теорема доказана.

Замечание о свойствах параболы

Каноническое уравнение, изучаемой в курсе элементарной математики параболы вида , получается путем взаимного переименования координатных переменных.

Из теоремы Пр.1.4.1. следует возможность альтернативных формулировок свойств параболы.

Директориальное свойство параболы: парабола есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и равно единице.

Оптическое свойство параболы: касательная в любой точке гиперболы образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и положительным направлением оси абсцисс. (Каждый луч света, выходящий из фокуса параболы, после отражения от параболы распространяется параллельно ее оси.)

Проведение касательных к параболе

Теорема Пр.1.4.2.

Пусть A = есть точка, принадлежащая параболе, заданной каноническим уравнением, тогда уравнение касательной к этой параболе, проходящей через точку А, имеет вид: .

Доказательство:   Уравнение касательной в точке A имеет вид . Для параболы из канонического уравнения получаем , то есть , . Но тогда , принимая во внимание, что , окончательно получим .   Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точки , где уравнение касательной .   Теорема доказана.

Доказательство свойства 5° теоремы Пр.1.4.1.:   Направляющий вектор касательной к параболе в точке A есть , а вектор фокального радиуса - . Поэтому .   Но, с другой стороны, косинус угла между векторами и выражается той же формулой. Поскольку углы и острые, то они равны.     Теорема доказана.

Уравнение параболы в полярной системе координат

Поместим полюс полярной системы координат в фокус параболы, а полярную ось направим по линии, перпендикулярной директрисе и проходящей через ее фокус. (Рис. Пр.1.4.2.)   Для произвольной точки A, лежащей на параболе,   .   Откуда

y   A r O F j x   D   Рисунок Пр.1.4.2.

и окончательно .