Читайте также:
|
|
Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка , на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка.
Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= a, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел =
.
Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел = .
Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= , тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется = (интегралы в правой части определены выше).
Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл расходится.
Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах.
Пример.
Интеграл расходится, так как пределы в правой части равенства бесконечны.
Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона-Лейбница (она неприменима, т.к. функция разрывна), получим ответ 2. Еще раз убеждаемся, что теоремы следует применять, внимательно проверяя условия их применимости.
Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода .
.
При , интеграл расходится.
Итак, несобственный интеграл Дирихле второго рода сходится при расходится при
Замечание. Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся при n=1. При n>1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихле второго рода расходится. При n<1 интеграл Дирихле первого рода расходится, а интеграл Дирихле второго рода сходится.
Признаки сравнения интегралов остаются верными и для интегралов второго рода. Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле и интегралы от показательной функции.
Примеры. сходится сравнением с несобственным интегралом Дирихле (n= ) по второму признаку сравнения. Вспомните, что сумма бесконечно малых функций в знаменателе эквивалентна при бесконечно малой наинизшего порядка малости. Можно доказать эквивалентность непосредственным вычислением предела.
расходится сравнением с интегралом по второму признаку сравнения.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 36 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |