Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнения с разделяющимися переменными.

Читайте также:
  1. Выбор формы уравнения регрессии
  2. Вывод канонического уравнения параболы.
  3. Геометрические свойства параболы (исследование канонического уравнения).
  4. Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты
  5. Гиперболические уравнения
  6. Глава 19 Огонь в уравнениях
  7. Дифференциальные уравнения первого порядка.
  8. Дифференциальные уравнения первого порядка.
  9. Дифференциальные уравнения.
  10. Квадратные уравнения

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

.

В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dx собрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируем полученное соотношение и получаем соотношение вида .

.

 

Пример. . Заметим, что - решение, это так называемое тривиальное решение. Только, проанализировав, является ли решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на , двигаться дальше. Иначе тривиальное решение будет потеряно.

.

Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при .

.

Обозначим и раскроем модуль:

.

Заменим и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальное решение есть. Окончательно,

, где С – произвольная действительная постоянная.

Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о них один раз) и сразу выписывают решение уравнения .

Пример. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициента радиус-вектора в точке касания.

- решение, . Подставляя начальные условия, получим .

Пример. Формула Циолковского.

Ракета вместе с топливом, массой , движется прямолинейно, без учета гравитации. Скорость истечения топлива , в начальный момент времени ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M. Вывести формулы для скорости ракеты .

 

 

Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движения

Подставляя , получим . Отсюда

- формула Циолковского.

 




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Формула Ньютона – Лейбница. | Методы вычисления определенного интеграла. | Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода). | Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода). | Абсолютная сходимость несобственных интегралов. | Условная сходимость несобственных интегралов. | Вычисление площадей плоских фигур. | Вычисление объемов тел. | Вычисление площади поверхности вращения. | Дифференциальные уравнения первого порядка. |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав