Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения.

Читайте также:
  1. II. 4 Требования к итоговым достижениям освоения образовательной программы начального общего образования обучающимися с нарушениями речи.
  2. II. ПРАВИЛА ОБЩЕГО ПОРЯДКА
  3. II.3.2.1. Требования к структуре адаптированной образовательной
  4. IX. Сложные решения
  5. MAKING DECISIONS. КАК ПРИНИМАЮТСЯ РЕШЕНИЯ
  6. Алгоритм Решения
  7. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИТУАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ №1.
  8. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИТУАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ №9.
  9. Аппаратные способы решения проблемы некогерентности
  10. Арбитражный порядок разрешения имущественных споров

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

.

 

Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.

1) - решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).

2) Зададим произвольные начальные условия , . Вычислим начальные условия для выбранного частного решения неоднородного уравнения . Получим систему линейных алгебраических уравнений для определения констант:

.

.

.

.........................................................................

.

Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом. Следовательно, - общее решение неоднородного уравнения.

 

Метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. . ().

Здесь обозначено , заметим, если - решение однородного уравнения, то .

Заметим, всегда, применяя метод вариации, надо делить на коэффициент при старшей производной, т.е. приводить уравнение.

 

Пусть найдено решение однородного уравнения

.

Варьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного уравнения в виде

.

Дифференцируем это соотношение

.

Потребуем, чтобы

.,

тогда .

Дифференцируем еще раз

.

Потребуем, чтобы

.,

тогда .

Вновь дифференцируем и т.д., в результате, после n-2 дифференцирования получим

.

.

Дифференцируем и подставляем

+ .

в неоднородное уравнение .

+ =

Так как - решения однородного уравнения, то .

Получим .

Это – последнее уравнение системы для определения варьированных констант. Соберем все уравнения в систему для определения констант.

.,

.,

........................................................

.

Так как определитель системы – определитель Вронского, не равный нулю в силу линейной независимости решений, то функции определяются из этой системы однозначно.

Теперь общее решение неоднородного уравнения определяется по формуле .

 




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Уравнение в полных дифференциалах. | Интегрирующий множитель. | Решения. | Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка. | Лекция 14. Дифференциальные уравнения высших порядков. | Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. | Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравнения n –ого порядка с переменными коэффициентами. | Линейная зависимость и независимость. | Определитель Вронского. | Теорема о структуре общего решения однородного уравнения. |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав