Читайте также:
|
|
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
.
Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.
1) - решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).
2) Зададим произвольные начальные условия , . Вычислим начальные условия для выбранного частного решения неоднородного уравнения . Получим систему линейных алгебраических уравнений для определения констант:
.
.
.
.........................................................................
.
Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом. Следовательно, - общее решение неоднородного уравнения.
Метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. . ().
Здесь обозначено , заметим, если - решение однородного уравнения, то .
Заметим, всегда, применяя метод вариации, надо делить на коэффициент при старшей производной, т.е. приводить уравнение.
Пусть найдено решение однородного уравнения
.
Варьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного уравнения в виде
.
Дифференцируем это соотношение
.
Потребуем, чтобы
.,
тогда .
Дифференцируем еще раз
.
Потребуем, чтобы
.,
тогда .
Вновь дифференцируем и т.д., в результате, после n-2 дифференцирования получим
.
.
Дифференцируем и подставляем
+ .
в неоднородное уравнение .
+ =
Так как - решения однородного уравнения, то .
Получим .
Это – последнее уравнение системы для определения варьированных констант. Соберем все уравнения в систему для определения констант.
.,
.,
........................................................
.
Так как определитель системы – определитель Вронского, не равный нулю в силу линейной независимости решений, то функции определяются из этой системы однозначно.
Теперь общее решение неоднородного уравнения определяется по формуле .
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |