Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Элементы вариационного исчисления

Читайте также:
  1. Банковская система, ее сущность, элементы и типы
  2. В) Символы как содержательные элементы фундаментального знания
  3. Внесюжетные элементы
  4. Внутренняя среда маркетинга: составляющие элементы.
  5. Все элементы состояния можно добавить с помощью вкладки Detail окна спецификации состояния.
  6. Гальванические элементы. Электролиз
  7. Глава 18. Элементы эффективного рекламного текста
  8. Дайте понятие финансовой системы,перечислите составные элементы и покажите их взаимосвязь.
  9. Договор банковского вклада: понятие, элементы, ответственность
  10. Документальное оформление и порядок исчисления пособий по временной нетрудоспособности, выходного пособия. Учет расчетов по социальному страхованию и обеспечению.

 

I.I. Исходные понятия. Вариационное исчисление — раздел математики, занимающийся изучением экстремальных свойств функционалов. Под функционалом понимается числовая переменная, значения которой определяются выбором одной или нескольких функций. Другими словами функционал — это функция одного или нескольких аргументов, которые сами по себе являются функциями. Очевидно, что область определения функционала — множество тех или иных функций, а область его изменения — числовое множество. Простейшим примером функционала (условимся обозначать его здесь буквой с указанием за ней списка аргументов в квадратных скобках) может служить определенный интеграл

Более сложные примеры дают функционалы

(1.1)
(1.2)
(1.3)

(1.4)

 

Здесь в первом примере приведен простейший функционал Эйлера, определенный на множестве функций одного переменного, непрерывных на отрезке вместе со своими производными первого порядка. Во втором примере мы также имеем функционал, определенный на множестве функций одного переменного, только теперь подынтегральная функция зависит от более высоких производных функции-аргумента. В этом случае естественно считать, что область определения функционала — множество функций, непрерывных вплоть до производных го порядка. В третьем примере мы имеем дело с функционалом, зависящим от аргументов — функций одного аргумента. И, наконец, последний пример иллюстрирует функционалы, определенные на множестве функций двух переменных , изменяющихся в некоторой области . Не представляет труда продолжить эти примеры.

Условимся изменение аргумента функционала называть варьированием, а его малое приращение — вариацией, которую будем обозначать символом . Так если аргумент функционала, то его вариация — (в отличии от дифференциала той же функции . Нетрудно видеть, что операции варьирования и дифференцирования коммутативны (перестановочны), т.е., например, .

Варьирование аргумента функционала влечет за собой изменение значений самого функционала (варьирование функционала), которое может, вообще говоря, сопровождаться изменением (варьированием) и границы области интегрирования. Однако мы ограничимся рассмотрением лишь, так называемых, функционалов со свободной границей — функционалов, варьирование которых происходит при неизменной области их интегрирования.

Обратимся к рассмотрению основной задачи вариационного исчисления — изучению экстремумов функционалов.

1.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функционала. Прежде чем сформулировать эти условия, введем понятия первой и второй вариации функционала. Все рассуждения будем проводить на примере простейшего функционала Эйлера (1.1), ибо подученные для него результаты сравнительно легко обобщаются и на случаи более сложных функционалов.

Пусть и — два близких значения аргумента функционала . Приращение последнего определяется обычной формулой

и может быть представлено в виде

(1.5)

Здесь первая вариация функционала — однородная величина первой степени относительно вариаций аргумента и его производной , т.е. величин и , или, иначе, линейная относительно и часть приращения ; — вторая вариация функционала — однородная величина второй степени относительно вариаций и соответственно аргумента и его производной или, иначе, квадратичная относительно и часть приращения функционала ; многоточие в (1.5) означает, что далее следует сумма вариаций функционала более высокого порядка. Процедура получения выражений для первой и второй вариаций функционала излагается в следующем пункте. А сейчас заметим, что для функционала первая и вторая вариации играют ту же роль, что и первый и второй дифференциалы для функций.

В вариационном исчислении доказывается, что необходимым условием экстремума функционала является обращение в нуль его первой вариации:

(1.6)

(срав. с условием стационарности функции . Экстремум будет минимумом, если

(1.7)

(срав. с условием (или ) для минимума функции и максимумом, если

(1.8)

(срав. с условием (или ) для максимума функции . Равенство (1.6) — необходимое (мы уже об этом говорили), а отношения (1.7), (1.8) — достаточные условия экстремума функционала.

При раскрытии необходимого условия экстремума (условия стационарности) функционала важную роль играет, так называемая, основная лемма вариационного исчисления:




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 28 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Сводка основных уравнений теории упругости | Принцип Лагранжа | Доставляют полной энергии линейно упругого тела минимальное значение | Приходим к условию стационарности | Принцип Кастильяно | Линейно упругого тела минимальное значение. | То из всех статически возможных напряжений лишь истинные напряжения доставляют дополнительной потенциальной энергии тела минимальное значение. | Вариационные методы |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав