Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вариационные методы

Читайте также:
  1. I. Вариационные ряды, средние величины, вариабельность признака
  2. II. Рыночные методы установления цены на товар
  3. IV. ФОРМЫ И МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ, СИСТЕМА ОЦЕНОК
  4. IV. Эконометрические методы определения цен
  5. Абстрактные методы и классы
  6. Активные методы исследования
  7. Анализ имущественного положения организации: цели, источники информации, методы и приемы, показатели оценки структуры баланса.
  8. Анализ источников финансирования: цели, источники информации, методы и приемы, оценка структуры и динамики.
  9. Анатомические особенности сердца и методы его исследования
  10. Анатомо-физиологические особенности и методы исследования крови, эндокринной, пищеварительной и мочевыделительной систем

 

Точное решение задач теории упругости и строительной механики удается построить далеко не всегда. Поэтому на практике придается большое значение различным приближенным методам, среди которых особое место занимают вариационные или прямые методы, основанные на непосредственной минимизации соответствующей энергии тела и позволяющие строить приближенные аналитические решения в форме функционального ряда.

Известно, что всякой краевой задаче можно сопоставить функционал, из условия стационарности которого вытекает эта задача. Более того, решение этой краевой задачи совпадает с решением задачи стационарности порождающего ее функционала. Эти обстоятельства позволяют вместо решения краевой задачи искать решение соответствующей вариационной задачи, что в ряде случаев оказывается более предпочтительным. На этом и основаны все вариационные методы строительной механики.

Поясним, какой смысл вкладывается в вариационных методах в понятие приближенного решения. Как известно, в ряде случаев точное решение задачи можно строить в виде функционального ряда, а именно, если — искомая, а () — заданные функции одного или нескольких переменных, то предполагается существование точного решения вида

(5.1)

где в качестве () могут выступать найденные в процессе решения задачи числа или функции.

Целью вариационных методов является построение частичной суммы подобного ряда, которая при его сходимости будет тем точнее приближаться к решению, чем большее число членов ряда включается в нее.

Наиболее ответственным этапом при реализации вариационных методов является выбор функций (). Он существенным образом зависит от вида решаемой задачи и избранного метода ее решения. Однако во всех случаях остается незыблемым общее правило: последовательность () должна быть такой, чтобы разложение (5.1) имело смысл. Иначе ряд (5.1) должен сходиться. Для этого необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была линейно независимой и полной. Игнорирование этих математических требований при построении приближенного в указанном выше смысле решения задачи может привести не только к грубым, но и неверным результатам.

Напомним смысл этих понятий, приняв для простоты, что функции , зависят от одного аргумента .

Система функций () называется линейно независимой, если при любых и натуральном равенство

где — постоянные величины, возможно лишь при условии ().

Понятие полноты системы функций тесным образом связано с возможностью разложения функции в сходящийся ряд (5.1). И здесь, прежде всего, надо указать, какой смысл вкладывается в понятие сходимости.

В приложениях чаще всего приходится иметь дело со сходимостью в среднем. Говорят, что ряд (5.1) сходится в среднем, если

(5.2)

Система функций называется полной, если для любой непрерывной функции и числа можно найти такие натуральное число и числа (), что

Из этого определения видно, что для неполной системы функций единственность и сходимость ряда (5.1), т. е. выполнение равенства (5.2), не гарантируется.

Сходимость в среднем присуща функциональному гильбертову пространству. В связи с этим напомним, что под гильбертовым пространством понимается линейное множество элементов — множество, содержащее и линейные комбинации принадлежащих ему элементов, в котором для любой пары элементов определено скалярное произведение. В нашем случае элементами множества являются функции. Скалярное произведение двух каких–либо таких элементов , определяется с помощью интеграла от их произведения:

(5.3)

Оно представляет собой континуальный аналог обычного скалярного произведения векторов, а величина

называемая нормой элемента , — континуальный аналог модуля вектора.

В гильбертовом пространстве необходимым и достаточным условием линейной независимости системы функций является отличие от нуля определителя Грамма

5.1. Метод Ритца–Тимошенко. Этот метод основан на вариационном принципе Лагранжа. Его сущность лучше всего пояснить на примере задач, в которых смещения описываются единственной искомой функцией одного или нескольких переменных. Примером таких задач могут служить задачи изгиба стержней и пластин.

Итак, пусть истинное смещение тела занимающего объем с границей . По определению это смещение удовлетворяет всем геометрическим, физическим и статическим соотношениям и, в частности, геометрическим граничным условиям

где — часть , на которой на тело наложены геометрические связи, предписывающие искомой функции заданные значения .

Согласно принципу Лагранжа функция доставляет функционалу полной энергии тела минимальное значение и одновременно является решением соответствующей краевой задачи метода перемещений. Последнее означает, что — то решение разрешающего уравнения метода перемещений, которое удовлетворяет еще имеющимся статическим граничным условиям. Напомним, кстати, что это разрешающее уравнение суть уравнение типа Эйлера функционала , а статические граничные условия — вытекающие из его стационарности естественные граничные условия.

Предположим, что точное решение изучаемой задачи представимо в виде сходящегося ряда

(5.4)

Здесь и — известные функции, подчиняющиеся условиям

(5.5)

и удовлетворяющие требованиям существования и сходимости ряда (5.4), а — числовые параметры, найденные в результате решения задачи.

Ссылаясь на только что приведенные рассуждения, можно сказать, что последовательность частичных сумм

ряда (5.4) является минимизирующей последовательностью для функционала , т. е.

Другими словами, минимизирующая последовательность одновременно приближает точное решение краевой задачи метода перемещений.

Метод Ритца–Тимошенко как раз и позволяет строить минимизирующую последовательность функционала полной энергии, которая затем и принимается за приближенное решение изучаемой задачи.

Сущность его заключается в следующем.

Искомая функция аппроксимируется суммой

(5.6)

где, еще раз подчеркнем, и подобраны таким образом, чтобы выполнялись условия (5.5), а — искомые числа. Нетрудно видеть, что образует параметрическое множество (с параметрами ) возможных смещений. Чтобы выделить из него ое приближение истинного смещения , необходимо, очевидно, подобрать такие значения параметров , при которых ое приближение функционала принимает минимальное значение.

Следовательно, искомые параметры разыскиваются из условия стационарности функции

(5.7)

в которую переходит функционал после интегрирования, предписанного общим выражением функционала полной энергии . Это условие, как известно из теории функций, выражается равенствами

(5.8)

образующими систему алгебраических уравнений относительно искомых величин .

В случае линейно упругого тела — квадратичный функционал и поэтому система (5.8) будет линейной системой. Таким образом, в рамках линейной теории упругости метод Ритца–Тимошенко позволяет достаточно сложную задачу отыскания решения краевой задачи свести к сравнительно простой алгебраической проблеме — решению системы линейных алгебраических уравнений.

Самый ответственный шаг при реализации метода Ритца–Тимошенко — это подбор функций , получивших название аппроксимирующих функций. Можно утверждать, что достоверность результата, полученного с помощью метода Ритца–Тимошенко, всецело зависит от выбора аппроксимирующих функций. Остановимся на этом вопросе несколько подробнее.

До сих пор к выбору аппроксимирующих функций предъявлялось одно требование — выполнение условий (5.5), превращающих смещение в допустимое (возможное). Другое и, пожалуй, самое главное требование присутствовало негласно. Дело в том, что указанный выше процесс построения минимизирующей последовательности функционала полной энергии только одним алгоритмом не обеспечивается и уж тем более не гарантирует того, что полученное в результате будет аппроксимировать точное решение соответствующей краевой задачи метода перемещений. Объясняется это тем, что представление (5.6) будет давать последовательность частичных сумм точного решения (5.4) тогда, когда функции линейно независимы и обладают должной полнотой.

На практике обычно поступают так. Пусть в гильбертовом пространстве (например, со среднеквадратичной нормой) известна какая-либо линейно независимая и полная система функций (). Зададим каким-то образом функцию , удовлетворяющую условию

Обычно это сделать нетрудно. Тогда за аппроксимирующие функции можно принять величины

Сказанное, естественно, не относится к случаям, когда функции () удается подобрать в согласии с условиями (5.5) непосредственно.

От выбора аппроксимирующих функций зависит и трудоемкость вычислений при решении задачи с помощью метода Ритца–Тимошенко. Как мы уже знаем, в случае линейно упругого тела этот метод завершается решением системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых . Эта система, вообще говоря, связанная, т. е. имеет порядок . Однако, если система аппроксимирующих функций окажется ортогональной

( — символ Кронекера), то система (5.8) распадается на независимых уравнений, каждое из которых содержит лишь один из искомых параметров . Более того, эта распавшаяся система представляется одним уравнением с одним неизвестным, зависящим от числового параметра , так что решение ее сводится фактически к решению одного уравнения.

В заключение остановимся на реализации метода Ритца–Тимошенко для общей задачи теории упругости. В этом случае смещения () аппроксимируются выражениями

где — составляющие смещений, удовлетворяющих геометрическим граничным условиям, — аппроксимирующие функции, подчиненные требованиям

и, наконец, — неизвестные числовые параметры, которые находятся из условия стационарности функции

выражаемого равенствами

5.2. Метод Бубнова–Галеркина. Метод Бубнова–Галеркина можно трактовать и как вариационный метод, и как приближенный метод решения краевых задач. Рассмотрим обе трактовки, ограничиваясь для простоты классом задач, в которых деформированное состояние описывается одним обобщенным смещением .

Начнем с вариационной трактовки.

В связи с этим напомним, что в методе Ритца–Тимошенко сначала аппроксимировался функционал полной энергии, а затем требовалась его стационарность. В отличие от него в методе Бубнова–Галеркина аппроксимации подвергается само условие стационарности функционала полной энергии, которое может быть записано так

(5.9)

Здесь — область, занятая телом; — часть границы тела, где действуют заданные силы; — некоторые дифференциальные операторы, вид которых определяется конкретной задачей; и — левые части, соответственно, уравнения типа Эйлера и естественных (статических) граничных условий; и — известные функции, представляющие внешние нагрузки. При записи последнего равенства учтено, что на части границы тела, где задано , . Очевидно, что этому условию стационарности соответствует краевая задача

(5.10)

Как и в методе Ритца–Тимошенко, зададим искомую функцию приближенно в виде частичной суммы

(5.11)

некоторого ряда, где по-прежнему и подобраны таким образом, чтобы выполнялись геометрические граничные условия, а — искомые числа. Легко понять, что

Подставляя два последних представления в условие стационарности, получим

Отсюда в силу произвольности имеем систему уравнений метода Бубнова–Галеркина

(5.12)

В линейных задачах это — система линейных алгебраических уравнений

(5.13)

где

(5.14)

Заметим, что если представление (5.11) удалось подобрать так, что для выполняются все граничные условия задачи, то

и коэффициенты системы разрешающих принимают более простой вид

(5.15)

Подчеркнем, что для комментируемого случая функции и , вообще говоря, не совпадают с теми, которые предполагались в первоначально изложенном общем случае. Объясняется это тем, что в первом общем случае при задании этих функций мы заботились о выполнении только геометрических граничных условий, в то время как во втором частном случае необходимо выполнить все граничные условия.

Необходимо отметить и то, что все сказанное при изложении метода Ритца–Тимошенко в отношении линейной независимости и полноты системы функций сохраняет силу и здесь. Дословно воспроизводятся и рассуждения о точности полученного решения.

Обратимся ко второй, не связанной с вариационными принципами, трактовке метода Бубнова–Галеркина.

Предположим, что задана краевая задача (5.10) и ищется ее приближенное решение в виде (5.11), где и подобраны так, что выполнены все краевые условия. Нужно подобрать теперь такие значения числовых параметров , при которых приближенно выполняется разрешающее уравнение краевой задачи (см. первое равенство (5.10)). По определению, если — приближенное решение этого уравнения, то

(если , то — точное решение). Назовем невязкой уравнения.

Поскольку система функций линейно независимая, то ее всегда можно ортогонализировать. Предположим, что это уже сделано и выполняются условия ортогональности

Тогда для невязки можно получить разложение

Потребуем, теперь обращения в нуль невязки. Тогда

или

что совпадает с ранее полученной для этого случая системой уравнений метода Бубнова–Галеркина. Как видно, система уравнений метода Бубнова–Галеркина обеспечивает обращение в нуль разрешающего уравнения задачи в интегральном смысле, что свойственно всем точным решениям в рядах. В отличие от них точное аналитическое решение удовлетворяет всем уравнениям краевой задачи функционально — в каждой точке области справедливости этих уравнений.

Не представляет труда перенести изложенные выше результаты и на случай трехмерной задачи теории упругости.

В заключение отметим, что, как можно показать, метод Ритца–Тимошенко и метод Бубнова–Галеркина, будучи примененными к решению одной и той же задачи, приводят к одному и тому же результату, если при приближенном задании искомых функций использованы одни и те же аппроксимирующие функции.

 




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 65 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Элементы вариационного исчисления | Тогда на том же отрезке с очевидностью . | Сводка основных уравнений теории упругости | Принцип Лагранжа | Доставляют полной энергии линейно упругого тела минимальное значение | Приходим к условию стационарности | Принцип Кастильяно | Линейно упругого тела минимальное значение. |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.017 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав