Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Читайте также:
  1. Cущноcть, функции и клаccификация cоциальных технологий в cоциально-культурном cервиcе
  2. Funcio laesa (нарушение функции).
  3. I. Общая теория и функции систематической теории
  4. I. Функционалы , зависящие от одной функции
  5. II.1. Функции специального федерального государственного образовательного Стандарта для детей с нарушениями речи
  6. IV. Порядок и формы контроля за исполнением государственной функции
  7. А) Основные психофизические функции
  8. Алгоритм нахождения точек перегиба функции.
  9. Асимптоты графика функции
  10. Асимптоты графика функции

Вернемся к рядам. В §2.7 мы установили, что если функцию можно разложить в сходящийся к ней степенной ряд, то он является для этой функции рядом Тейлора.

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале . Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале , вместо знака равенства поставим знак соответствия:

Выясним, при каких условиях этот знак можно заменить на знак равенства. Напишем формулу Тейлора для функции :

, (2.9.1)

где - остаточный член, а

. (2.9.2)

– многочлен Тейлора n -ой степени, который можно рассматривать как частичную сумму ряда Тейлора. Таким образом,

. (2.9.3)

Остаточный член формулы Тейлора для функции можно определить как разность между функцией и частичной суммой ряда Тейлора:

. (2.9.4)

При увеличении номера п число слагаемых в частичной сумме, т.е. в многочлене Тейлора, увеличивается, а остаточный член изменяется. Можно рассмотреть последовательность остаточных членов . Это последовательность функций, определенных в той же окрестности точки а, в которой имеет место бесконечная дифференцируемость функции . Остаточный член показывает погрешность, получающуюся при замене функции частичной суммой ряда Тейлора. Ясно, что для получения хорошего приближения последовательность остаточных членов должна стремиться к нулю. Вместо сочетания «последовательность остаточных членов» часто говорят просто «остаточный член».

 

Теорема 1 О необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции .

Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора

(2.9.5)

на интервале , необходимо и достаточно, чтобы имела на этом интервале производные любого порядка и чтобы остаточный член в данной формуле Тейлора (2.9.1) стремился к нулю при всех , когда n ®¥.

 

Замечание. Если функция имеет на интервале производные любого порядка, то эти производные непрерывны на этом интервале, потому что, если имеет производную на , то производная должна быть непрерывна на этом интервале.

 

Доказательство. Необходимость. Дано: - сумма ряда (2.9.5), т.е. ряд сходится. Требуется доказать, что . Воспользуемся равенством (2.9.3):

.

n -я частичная сумма ряда (2.9.4):

совпадает с многочленом Тейлора n -ой степени (2.9.2).

(2.9.6)

Т.к. по условию ряд сходится,

.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что - сумма ряда (2.9.5). .

Теорема доказана.

 

Лемма. (2.9.7)

для любого вещественного х.

В примере 3 на сходимость степенных рядов было установлено, что ряд сходится абсолютно при его радиус сходимости . Отсюда следует, что общий член ряда при (необходимое условие сходимости всякого ряда). Лемма доказана. Её можно применять и в виде .

 

Теорема 2 О достаточном условии сходимости остаточного члена формулы Тейлора к нулю.

Если функция в e-окрестности точки а имеет производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом то остаточный член ее формулы Тейлора в этой окрестности стремится к нулю при :

. (2.9.8)

Доказательство. Воспользовавшись формулой остаточного члена (2.7.2):

,

получим:

, (2.9.9)

т.к. в e-окрестности точки а.

Перейдем к пределу: .

По лемме при " х, в том числе при Þ . Теорема доказана.

 




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 40 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Cultural notes| Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав