Читайте также:
|
|
1. Параметр параболы характеризует ее форму. Чем больше , тем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).
2. Уравнение (при ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат и каноническая .
3. Уравнение определяет параболу с вершиной , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).
Уравнение , также определяет параболу с вершиной , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат и канонические системы координат .
4. График квадратного трехчлена является параболой с вершиной в точке , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при ) или вниз (при ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
которое приводится к каноническому виду , где , при помощи замены и .
Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с и , переименования координатных осей (3.38), а в случае еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат и канонические системы координат для случаев и соответственно.
5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку замена переменной на не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки , принадлежащей параболе, и координаты точки , симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.
Пример 3.22. Изобразить параболу в канонической системе координат . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.
Решение. Строим параболу, учитывая ее симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя в уравнение параболы, получаем . Следовательно, точки с координатами принадлежат параболе.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: . Координаты фокуса , т.е. . Составляем уравнение директрисы , т.е. .
где — ортогональная проекция точки на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:
Возводим обе части уравнения в квадрат:. Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы
т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.
Уравнение параболы в полярной системе координат
Уравнение параболы в полярной системе координат (рис.3.45,в) имеет вид
где — параметр параболы, а — ее эксцентриситет.
В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус параболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке, перпендикулярный директрисе и не пересекающий ее (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки, принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем. Поскольку, получаем уравнение параболы в координатной форме:
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (для эллипса, для параболы, для гиперболы).
Геометрический смысл параметра в уравнении параболы
Поясним геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51), получаем, т.е.. Следовательно, параметр — это половина длины хорды параболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно оси параболы.
Фокальным параметром параболы, так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при получаем, т.е. параметр параболы совпадает с ее фокальным параметром.
Замечания 3.11.
1. Параметр параболы характеризует ее форму. Чем больше, тем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).
2. Уравнение (при) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат и каноническая.
3. Уравнение определяет параболу с вершиной, ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).
Уравнение, также определяет параболу с вершиной, ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат и канонические системы координат.
4. График квадратного трехчлена является параболой с вершиной в точке, ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при) или вниз (при). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
которое приводится к каноническому виду, где, при помощи замены и.
Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента. Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с и, переименования координатных осей (3.38), а в случае еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат и канонические системы координат для случаев и соответственно.
5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку замена переменной на не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки, принадлежащей параболе, и координаты точки, симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.
Пример 3.22. Изобразить параболу в канонической системе координат. Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.
Решение. Строим параболу, учитывая ее симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя в уравнение параболы, получаем. Следовательно, точки с координатами принадлежат параболе.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр:. Координаты фокуса, т.е.. Составляем уравнение директрисы, т.е..
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Уравнение параболы в полярной системе координат | | | Введение |