Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Замечания 3.11.

Читайте также:
  1. Автор будет благодарен, если вы сообщите о ваших замечаниях
  2. Вступительные замечания
  3. ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
  4. Вступительные замечания – обзор
  5. Дополнительные замечания о разнице между критериями диагностическим и действия
  6. Заключительные замечания
  7. Заключительные замечания
  8. Заключительные замечания
  9. Замечания
  10. Замечания

 

1. Параметр параболы характеризует ее форму. Чем больше , тем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).

 

2. Уравнение (при ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат и каноническая .

 

3. Уравнение определяет параболу с вершиной , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

 

Уравнение , также определяет параболу с вершиной , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат и канонические системы координат .

 

 

4. График квадратного трехчлена является параболой с вершиной в точке , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при ) или вниз (при ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

 

которое приводится к каноническому виду , где , при помощи замены и .


Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с и , переименования координатных осей (3.38), а в случае еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат и канонические системы координат для случаев и соответственно.

 

5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку замена переменной на не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки , принадлежащей параболе, и координаты точки , симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.

 


Пример 3.22. Изобразить параболу в канонической системе координат . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.

 

Решение. Строим параболу, учитывая ее симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя в уравнение параболы, получаем . Следовательно, точки с координатами принадлежат параболе.

 

Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: . Координаты фокуса , т.е. . Составляем уравнение директрисы , т.е. .

 

 

где — ортогональная проекция точки на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:

 

Возводим обе части уравнения в квадрат:. Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы

 

т.е. выбранная система координат является канонической.

 

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.

 

 

Уравнение параболы в полярной системе координат

 

Уравнение параболы в полярной системе координат (рис.3.45,в) имеет вид

 

где — параметр параболы, а — ее эксцентриситет.

 

В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус параболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке, перпендикулярный директрисе и не пересекающий ее (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки, принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем. Поскольку, получаем уравнение параболы в координатной форме:

 

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (для эллипса, для параболы, для гиперболы).

 

 

Геометрический смысл параметра в уравнении параболы

 

Поясним геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51), получаем, т.е.. Следовательно, параметр — это половина длины хорды параболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно оси параболы.

 

Фокальным параметром параболы, так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при получаем, т.е. параметр параболы совпадает с ее фокальным параметром.

 

Замечания 3.11.

 

1. Параметр параболы характеризует ее форму. Чем больше, тем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).

 

2. Уравнение (при) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат и каноническая.

 

3. Уравнение определяет параболу с вершиной, ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

 

Уравнение, также определяет параболу с вершиной, ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат и канонические системы координат.

 

4. График квадратного трехчлена является параболой с вершиной в точке, ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при) или вниз (при). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

 

которое приводится к каноническому виду, где, при помощи замены и.

 

 

Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента. Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с и, переименования координатных осей (3.38), а в случае еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат и канонические системы координат для случаев и соответственно.

 

5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку замена переменной на не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки, принадлежащей параболе, и координаты точки, симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.

 

Пример 3.22. Изобразить параболу в канонической системе координат. Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.

 

Решение. Строим параболу, учитывая ее симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя в уравнение параболы, получаем. Следовательно, точки с координатами принадлежат параболе.

 

Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр:. Координаты фокуса, т.е.. Составляем уравнение директрисы, т.е..




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Уравнение параболы в полярной системе координат| Введение

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав