Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Аудиторные задания

Предисловие

Данное учебно-методическое пособие предназначено в первую очередь, для студентов экономико-управленческих специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объёме высшую математику. Пособие является дополнением к конспектам лекций по высшей математике часть I, а также руководством для подготовки и проведения практических занятий.

Пособие разбито на учебные элементы — занятия, каждое занятие содержит справочный материал (основные определения, формулы, признаки и т.п.), необходимый для решения задач. Каждый учебный элемент содержит три блока задач (аудиторные, домашние и дополнительные), при составлении которых особое внимание уделено стандартным задачам, которых так не хватает для успешного хода учебного процесса. Приводятся методические рекомендации по решению определённого круга задач, в частности, алгоритмы их решения. Такая форма изложения позволяет сначала познакомиться с приёмами решения типовых задач и оформлением записи их решения, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении. Тем не менее, в пособии довольно много сложных заданий и устных вопросов. Приводится два варианта контрольной работы, а также решения двух индивидуальных домашних заданий по теме «Линейная алгебра». Среди устных заданий немало качественных вопросов, обычно предлагаемых на экзаменах по высшей математике, эта часть данного издания будет полезна студентам для подготовки к экзаменам.

Список обозначений:

▲ ▼ — важные определения;

⋙ — «обратите особое внимание!»

► ◄ — начало и конец решения.

Занятие 1

Матрицы. Арифметические операции над матрицами. Элементарные преобразования матриц

Цели

Знать:

v Основные определения матриц;

v элементарные преобразования матриц.

Уметь:

v Выполнять арифметические операции над матрицами;

v при помощи элементарных преобразований любую матрицу привести к эквивалентной диагональной, ступенчатой или матрице треугольного вида.

Постановка задачи: Даны матрицы А, В и С. Найти матрицу , λ≠0.

План решения: Используя понятие числовой матрицы и линейных операций над матрицами выполнить действия:

1) ; 2) ; 3) .

№1. Даны матрицы ; . Найти матрицу С= 3 А+ 2 В.

► С= 3 А+ 2 В =

◄

№2. Найти произведение матриц: a) ;

б) ; в) .

► а)

б) .

в)

◄

№3. Найти значение матричного многочлена f (A), если

f (x)= –2 x ²+5 x +9, .

►

◄

Постановка задачи: С помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду.

План решения: Используя элементарные преобразования матриц:

1. перестановка строк (столбцов);
2. умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число;
4. транспонирование;
5. вычёркивание нулевой строки.

получить эквивалентную исходной матрицу.

№4. С помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду.

► 1) Сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом первой строки. Для этого первую строку умножим на –3 и прибавим ко второй; первую строку умножим на 5 и прибавим к третьей. Получим эквивалентную матрицу

;

2) Теперь сделаем равными нулю все элементы матрицы под крайним элементом второй строки. Для этого умножим вторую строку на 3, третью строку — на 2, получившиеся строки сложим и результат запишем в третью строку. Получим эквивалентную матрицу

.

Полученная матрица — ступенчатая. ◄

Аудиторные задания

№1. Даны матрицы Найти матрицу С=А –5 В. Ответ: .

№2. Даны матрицы , . Найти . Ответ: .

Вычислить произведение матриц:

№3. . Ответ: .

№4. . Ответ: .

С помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду:

№5. . Ответ: .

№6. . Ответ: .

№7. Даны матрицы , . Найти матрицу D = 3 А+ 5 В. Ответ: .

Вычислить произведение матриц:

№8. . Ответ: .

№9. Найти значение матричного многочлена f (A), если f (x) = 3 x³+x²+ 2, A = . Ответ: .

С помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду:

№10. . Ответ: .