Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Свойства определителей

Свойство 1. Значение определителя не изменится от замены его строк столбцами, и наоборот (транспонирование).

Пример. .

Свойство 2. Если поменять местами две любые строки (столбца), то определитель меняет знак.

1) ; 2) .

Следствие. Определитель, у которого две любые строки (столбца) одинаковы, равен нулю.

Пример. .

Свойство 3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на одно и тоже ненулевое число «», то значение определителя от этого увеличится (уменьшится) в «» раз.

Пример. . Умножим все элементы второго столбца на 4. Получим: .

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя обладают ненулевым общим множителем, то его можно вынести за знак определителя.

Пример.

(из последнего столбца вынесли общий множитель 2).

Следствие 2. Определитель, у которого элементы любых двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю.

Пример. .

Элементы первого и третьего столбцов соответственно пропорциональны, т.е. .

Свойство 4. Пусть каждый элемент какой-нибудь строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых. Тогда определитель равен сумме двух определителей. Причём в одном из них соответствующая строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых.

Пример. Пусть, в определителе первый столбец есть сумма двух слагаемых, тогда

.

Следствие. Определитель не меняет своего значения от прибавления (вычитания) ко всем элементам какой-нибудь строки (столбца) соответствующих элементов любой другой строки (столбца), умноженных на одно и то же ненулевое число.

№8. Пользуясь свойствами, вычислить определитель .

► 1) Замечаем, что второй столбец обладает общим множителем 2. Вынесем его за знак определителя. Получим:

.

2) Если прибавить второй столбец к первому, то полученный первый столбец также будет обладать общим множителем, т.е.:

.

3) Если из третьей строки вычесть вторую, то полученная третья строка также будет обладать общим множителем, т.е.:

.

4) Замечаем, что в определителе одинаковы первая и третья строки. Следовательно, он равен нулю. ◄

№9. Найти М ₁₃, М ₃₂ для определителя .

► Используя определение минора элемента определителя: м инором М_ij элемента а_{i j} называется определитель, полученный из данного определителя путём вычёркивания в нём строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij имеем: ; . ◄

№10. Найти А ₂₃и А ₃₁ для определителя .

► Используя определение алгебраического элемента определителя: а лгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij данного определителя, называется минор этого элемента M_ij, умноженный на число , т.е. имеем: ; . ƒ

№11. Вычислить определитель , разложением его по элементам второй строки.

„

= ◄

№12. Вычислить определитель , приведя его к треугольному виду.

► Вычитая первую строку из всех остальных, получаем . ◄