Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

О параболе.

 

(14)
Определение. Кривая, уравнение которой в некоторой системе координат можно записать в виде

у = ах2

называется параболой.

В алгебре начинают изучать форму кривых, представляющих собой графики функций, следующим образом. В таблице задают значения независимой переменной х, по ним вычисляют значения переменной у и по точкам строят график. Но мы постараемся с самого начала использовать геометрические способы исследования. В этом нам поможет следующая простая теорема.

Теорема 1. Пусть два прямоугольных треугольника АСВ и А 1 С 1 В 1 подобны. Кроме того, пусть АС = , а ВС = А 1 С 1 = . Тогда В 1 С 1 = ах2.

Доказательство.

 

Из подобия треугольников следует, что АС: ВС = А 1 С 1: В 1 С 1. Или В 1 С 1. Из пропорции следует, что В 1 С 1 = , и, наконец, требуемое равенство: В 1 С 1 = ах2.

 

Этой простой теоремой можно воспользоваться весьма успешно. Вся хитрость будет заключаться в том, чтобы правильно расположить треугольники АСВ и А 1 С 1 В 1 относительно друг друга и системы координат. Но прежде чем приступить к этому, отметим, что согласно традиции буква а обозначает постоянную величину, а х – переменную. И, действительно, в дальнейшем катет АС будет иметь постоянную длину, а остальные катеты – переменную.

Используя теорему 1, мы сможем построить любую точку параболы без вычислений и таблиц. Для этого зафиксируем на координатной плоскости точку Р (0; ). Затем, выбрав произвольное значение х, зададим точки Q (; 0) и X (х; 0).

Первый треугольник РОQ уже начерчен. Далее через точку Х проведем вертикальную прямую, а через точку Q до пересечения с этой вертикалью в точке Т прямую , перпендикулярную к прямой РQ. Прямоугольные треугольники РОQ и QХТ подобны, поскольку Ð РQО = Ð QТХ, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

Мы можем использовать теорему 1. Длина отрезка ХТ равна ах2, следовательно точка Т лежит на параболе у = ах2.

Теорема 2. Любая точка, лежащая на параболе у = ах2, равноудалена от точки Р (0; ), называемой фокусом параболы, и прямой у = – , называемой директрисой параболы.

 

Доказательство.

Наше доказательство основывается на на предыдущей конструкции и даже не-сколько упрощает построение точки Т. На координатной плoскости выделим фокус Р и проведем директрису параболы. Выберем на оси абсцисс произвольную точку Х и проведем через нее вертикальную прямую до пересечения с директрисой в точке D.

Соединим точки Р и D отрезком. Он пересечет ось абсцисс в точке Q, являющейся серединой отрезка OX. Действительно, прямоугольные треугольники РQO и DQX равны, поскольку РО = ХD (по способу построения фокуса и директрисы) и Ð РQO = Ð DQX (как вертикальные углы). Мы установили не только, что ОQ = QX, но и что РQ = QD.

Через точку Q проведем перпендикуляр к отрезку РD до пересечения с вертикалью ХD в точке Т. Эта точка, как доказано выше, лежит на параболе. Треугольники РQТ и DQТ являются прямоугольными. Катет у них общий и РQ = QD. Значит, трeугольники равны, и, кроме того равны их гипотенузы РТ и ТD. Но длина отрезка РТ равна расстоянию от точки Т, лежащей на параболе, до фокуса Р, а ТD – перпендикуляр, опущенный на директрису, и его длина равна расстоянию от Р до директрисы. Теорема доказана.

Обычно параболу определяют геометрически, как геометрическое место точек, равноудаленных от точки и прямой. Но мы поступили иначе, получив основное свойство параболы с помощью ее уравнения у = ах2.

На примере параболы отметим один важный момент, связанный с уравнениями различных линий в прямоугольной системе координат. Ее уравнение задает функцию, поскольку каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Парабола является графиком этой функции, определенным образом расположенным по отношению к осям системы координат. Однако, если рассматривать параболу как геометрический объект, она может располагаться по отношению к осям произвольным образом. Она перестает быть графиком какой-либо функции, и ее уравнение усложняется. То же самое происходит и с эллипсами.

По этой причине мы всегда будем так выбирать систему координат, чтобы уравнения линий были наиболее простыми. Но из этого не следует делать вывод, что наклоненные по отношению к осям координат параболы и эллипсы в таком положении не имеют уравнений. Такие уравнения существуют, но для нас они слишком сложны.

К тому же в удачно выбранной системе координат удобнее изучать свойства различных линий. Сейчас мы продолжим этим заниматься.

Касательную к окружности и эллипсу можно определить как прямую, имеющую с соответствующей кривой единственную общую точку. Подходит ли для касательной к параболе такое же определение: касательной к параболе называется прямая, имеющая с ней только одну общую точку? На чертеже мы видим, что это не так. Любая вертикальная прямая имеет с параболой только одну общую точку, но она не касается параболы (касаться – значит поглаживать, скользить вдоль), а буквально протыкает ее. Парабола делит плоскость на две бесконечных области. Протыкающая параболу прямая из одной области попадает в другую, касающаяся ее –лежит в одной области. Можно сказать и иначе: парабола лежит по одну сторону от касающейся ее прямой. Именно это обстоятельство и нужно отразить в определении параболы.

Определение. Касательной к параболе называется прямая, имеющая с ней только одну общую точку, и такая, что парабола лежит по одну сторону от этой прямой.

Теорема 3. Прямая QT, проходящая через точки Q (; 0) и Т (х0; ах02) является касательной к параболе у = ах2.

 

Доказательство.

 

Прямая QT использовалась нами при построении точки Т, лежащей на параболе у = ах2. Если тщательно выполнить чертеж, то можно догадаться о том, что она касается параболы. Но эта догадка будет оставаться только догадкой, пока не будет проведено доказательство.

Подстановкой координат легко убедиться, что уравнение прямой QT имеет вид:

 

у = 2а х0 х – ах02.

 

Важно отдавать себе отчет в том, что величины х и у в уравнении являются переменными, а х0 и а – постоянными. Рассмотрим любую, лежащую на одной вертикали, пару точек параболы и прямой QT (они имеют одинаковые абсциссы). Найдем разность их ординат:

 

ах2 – (2а х0 х – ах02) = ах22а х0 х + ах02 = а ×(хх0) 2.

 

Поскольку квадрат скобки (хх0) 2 равен нулю только при х = х0, а в остальных случаях положителен, то разность ординат обращается в нуль только в одной точке (точке касания), а остальные точки параболы всегда лежат либо выше точек прямой (при положительном а), либо всегда ниже (при отрицательном а), то есть парабола лежит по одну сторону от прямой QT. Теорема доказана.

Определение. Пусть на плоскости задано бесконечное семейство прямых. Если существует кривая, касающаяся каждой из этих прямых, она называется огибающей семейства.

Следствие из теоремы 3. Огибающей семейства прямых, проходящих через точки (; 0) и (0; – ах2) при всевозможных значениях х, является парабола у = ах2. Действительно, подставив в уравнение касательной значение х = 0, установим, что касательная к параболе проходит не только через точку (; 0), но и через точку (0; – ах2).

Мы получили новый способ, с помощью которого можно получить представление о форме кривой. Если график строится по точкам, то наш способ очерчивает контуры кривой с помощью прямых.

Задание. С помощью огибающих построить на клетчатой бумаге очертания параболы у = 0,25 х 2.

 


В механике и оптике касательные к кривым играют особую роль. Начнем с механики. Если тело движется по кривой, то постоянно меняет направление. Как узнать, куда направлена скорость в данное мгновение? Ответ таков: она направлена по касательной. Перейдем к оптике. Луч света падает на кривое, а не на плоское зеркало. Куда пойдет отраженный луч? Ответить на этот вопрос помогает следующий закон оптики: угол падения равен углу отражения. Но как измерить угол между прямым лучом и искривленной поверхностью? Ответ снова связан с касательной. Для искривленных зеркал углы падения и отражения измеряются по отношению к касательной. Если в дальнейшем мы столкнемся с движением точки по параболе или с параболическим зеркалом, то теорема 3 поможет нам разобраться с проблемами механики и оптики. Именно по этой причине мы и в дальнейшем будем проявлять особый интерес к касательным.

Мы рассмотрели семейство прямых касающихся одной и той же параболы. Надо признать, что оно не лишено определенной эстетической притягательности. Но и сами параболы могут образовывать эффектные семейства. Рассмотрим одно из них.

Мы уже достаточно хорошо представляем себе форму параболы. Она похожа на чашу с выпуклым дном. Нижняя точка этой чаши (или верхняя, если чашу перевернуть) называется вершиной параболы[1]. Все параболы вида у = ах2 при любых значениях а имеют вершину в начале координат. Все они являются результатом сжатия (при ½ а ½ < 1) или растяжения (при ½ а ½ > 1) параболы у=х2. При а > 0 ветви параболы смотрят вверх, при а < 1 – вниз, при a = 0 парабола вырождается в прямую у = 0.

Если сместить вершину параболы в точку (х0; у0), то она не изменит формы, но будет описываться другим уравнением. Преобразование уравнения параболы состоит в том, у заменяется на у – у0, а х – на х – х0. В итоге мы приходим к уравнению

у – у0 = а (х – х0) 2.

Раскроем скобки и явно выразим у через х. Как результат будет получено уравнение

у = ах2 2 ах0х + ах02 + у0.

Для краткости принято обозначать коэффициент при х через b, а свободный член – через с, то есть

b = – 2 ах0; с = ах02 + у0.

Итоговое уравнение параболы со сдвинутой из начала координат вершиной таково:

у = ах2 + bх + c.

Мы видим, что в этом случае парабола является графиком квадратного трехчлена, теснейшим образом связанного с квадратными уравнениями.

Выразим х0 и у0 через а, b и с:

 

b = – 2 ах0с = ах02 + у0

       
   

 

 


Теперь у нас есть повод и возможность вспомнить о том, как решаются квадратные уравнения. Это тем более уместно, что многие задачи, решаемые методом координат, приводят именно к квадратным уравнениям.

Перепишем наше исходное уравнение у – у0 = а (х – х0) 2, используя полученные выше формулы

.

 

Положив у = 0, получим:

 

.

 

Откуда вытекает известная формула для решения квадратного уравнения:

 

.

 

Эта формула показывает, что квадратное уравнение может иметь два решения (при дискриминанте b2 – 4ac > 0), одно решение (при дискриминанте равном 0), нe иметь решений (при дискриминанте меньше 0). C геометрической точки зрения эти cлучаи соответствуют различным положениям параболы относительно оси абсцисс.

 

   
Парабола пересекается с осью абсцисс в двух точках – два решения. Парабола касается оси абсцисс в единственной точке – одно решение. Парабола не пересекается с осью абсцисс – нет решений.

 

Задача. Докажите, что если в фокусе параболы разместить источник света, то лучи, отраженные от параболы, будут направлены параллельно друг другу и перпендикулярно директрисе. (Именно по этой причине прожектора имеют параболические отражатели).

 

Решение.

 

Как известно, луч света, падающий на кривое зеркало, отражается по известному закону оптики: угол падения равен углу отражения. При этом углы падения и отражения измеряются по отношению к касательной.

Мы умеем строить касательные к параболе в любой точке. Этот навык поможет нам без труда получить нужный результат. Обратимся к хорошо знакомому нам чертежу. Треугольник PZD является равнобедренным, касательная к параболе – это его биссектриса, поэтому Ð PZS = Ð SZD, а Ð LZK = Ð SZD, как вертикальный угол. Итак, Ð PZS = Ð LZK. Угол падения равен углу отражения.

 

Задача. Говорят, что две кривые касаются друг друга в какой-то точке, если это общая точка двух кривых и касательные, проведенные через эту точку к этим кривым, совпадают. Для каждого положительного числа t зададим точку Т с координатами (0, t2 +0,5) и величину r = . Рассмотрим семейство окружностей, центр каждой из которых расположен в одной из точек Т, а радиус равен соответствующему значению r. Доказать, что пaрабола является огибающей этого семейства окружностей (то есть касается каждой из них).

 

Решение.

 

Легко зaметить, что центры окружностей лежат на оси ординат. Исходя из этого, попытаемся построить касающуюся параболы окружность, центр которой лежит на оси ординат. Пусть точка М лежит на параболе и имеет абсциссу t. Тогда ее ордината равна t2. Уравнение касательной в этой точке принимает вид: у = 2t х – t2 (коэффициент а в уравнение параболы у = ах2 считаем равным 1).

Прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной, имеет уравнение:

.

Именно на этой прямой лежат центры окружностей, которые касаются нашей параболы.

Положив х = 0, найдем точку Т пересечения этой прямой с осью ординат: у = t2 + 0,5. Кроме того, ТМ 2 = (t – 0) 2 + (t2 + 0,5 – t2) 2 = t2 + 0,25. Мы доказали, что любая окружность из нашего семейства касается параболы.


[1] Более точное определение вершины параболы таково – точка пересечения параболы с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису.




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 51 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Дотична до параболи у точці визначається рівністю: .| ОТ ИЗДАТЕЛЯ

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.018 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав