Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Формулы Тейлора и Маклорена

Читайте также:
  1. Анализ арифметической формулы Экономической таблицы, показывающей распределение ежегодных издержек земледельческой нации
  2. Вывод дактилоскопической формулы
  3. Вывод формулы для теплоемкости в данном процессе
  4. Две формулы Брехта
  5. Дополнительная часть дактилоскопической формулы
  6. Задание 2. Экспериментальная проверка формулы (5) для числа m зон Френеля, открываемых отверстием радиуса r
  7. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора
  8. Однако, в теории вероятностей такой формулы нет, а в надежности она введена!
  9. Основные формулы
  10. Первая модель была описана при помощи формулы AID А.

Формула Тейлора позволяет приближенно представить любую функцию с помощью многочлена (полинома) п -й степени, причем ошибка без труда находится и оценивается.

Теорема Тейлора. Брук Тейлор (Taylor, 1685-1731) - английский математик.

Пусть функция имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка п +1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками а и х найдется точка x такая, что справедлива следующая формула:

(2.7.1)

Без доказательства.

Замечание. При п =0 получаем частный случай - формулу Лагранжа:

.

Таким образом, можно сказать, что формула Тейлора есть обобщение формулы Лагранжа на случай п производных.

Формула (2.7.1) называется формулой Тейлора, а последнее слагаемое в ней - остаточным членом в форме Лагранжа. Таким образом,

. (2.7.2)

Приведем еще одну форму записи остаточного члена - в форме Пеано (Пеано Джузеппе, Peano, 1858-1932).

Покажем, что если производная (п +1)-го порядка функции , т.е. ограничена в окрестности точки а, то остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем при . Для этого вычислим отношение этих двух бесконечно малых:

,

т.к. функция ограничена, а при , а произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая. Таким образом,

при . (2.7.3)

Это форма Пеано для остаточного члена. Тогда формула Тейлора примет вид:

При формула Тейлора (2.7.1) превращается в формулу Маклорена:

(2.7.4)

Остаточный член имеет вид:

1) в форме Лагранжа ;

2) в форме Пеано .

 

Пример 1. Разложить многочлен по степеням .

Имеем: а =1. Напишем формулу Тейлора для :

.

Найдем производные в точке а =1.

;

; ;

; ;

; ;

.

Четвертая производная равна нулю, поэтому остаточного члена не будет. Подставляем в многочлен Тейлора:

.

 

Пример 2. Написать формулу Маклорена для функции ().

Эта функция имеет производные любого порядка на (-¥, +¥). При этом:

,

- число.

.




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
КУПАНИЕ| медиана

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав