Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод решения

Читайте также:
  1. D Метод getHelpMenu: public Menu getHelpMenu () .В данной реализации
  2. D Метод isSelectionEmpty: public boolean isSelectionEmpty().Возвра­щает True,если на момент вызова метода ни один элемент дерева не вы­делен пользователем или программно.
  3. I. Организационно - методический раздел
  4. I.Организационно-методический раздел
  5. II. Рыночные методы установления цены на товар
  6. III. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
  7. IV. ФОРМЫ И МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ, СИСТЕМА ОЦЕНОК
  8. IV. Эконометрические методы определения цен
  9. IX. Сложные решения
  10. IX. Учебно-методическое обеспечение курса.

Введение

Постановка задачи

Схема Горнера вычисления значений полиномов.

1. Составить программу для вычисления значения полинома Р(х) для каж­дого заданного х;

2. Определить коэффициенты полинома Q(x), являющегося частным при делении исходного на двучлен (x-z);

3. Найти границы x1, x2 действительных корней полинома Р(х);

4. Построить график Р(х) при хϵ[х03], х01 х32.

5. Оценить погрешности вычисления полинома.

 

 


 

Метод решения

§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера

Пусть дан полином п-й степени

P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (1)

с действительными коэффициентами ak(k = 0, 1,…,п). Положим, что требуется найти значение этого полинома при x = ξ:

Р(ξ) = а0 ξn + a1ξ n-1 +... + аn-1 ξ + аn. (2)

Вычисление числа P(ξ) удобнее всего производить следующим образом. Представим формулу (2) в виде

P(ξ) = (... (((а0 ξ + а1) ξ + а2) ξ + а3) ξ +... + аn-1) ξ + ап).

Отсюда, последовательно вычисляя числа

b0 = a0,

b1 = а1 + b1 ξ,

b2=a2 + b2 ξ,

........... (3)

bn=a­n+bn-1 ξ

находим bn=P(ξ).

Покажем, что числа b0 = a0, b1,..., bn-1 являются коэффициен­тами полинома Q(x), полученного в качестве частного при делении данного полинома Р(x) на двучлен х — ξ. B самом деле, пусть

Q (х) = β0xn-11xn-2+…+βn-1 ­(4)

P(x)=Q(x) (x- ξ) + βn, (5)

причем на основании теоремы Безу остаток от деления βn=Р(ξ). Из формул (4) и (5) получим:

Р(x) = (β0xn-1 + β1xn-2 +... + βn-1) (x - ξ) + βn,

или, раскрыв скобки и сделав приведение подобных членов, будем иметь:

Р(х) = β0xn + (β1 - β0 ξ)xn-1 + (β2 – β1ξ)xn-2 + … + (βn-1 – βn-2ξ)x + (βn – βn-1 ξ).

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях последнего равенства, получим:

β0 = a0,

β1 – β0ξ = a1,

β2 – β1ξ = a2,

.........

βn – βn-1ξ = an.

Отсюда

β0 = a0 = b0,

β1 = a1 + β0ξ = b1,

................

βn = an + βn-1ξ = bn,

что и требовалось доказать.

Таким образом, формулы (3) позволяют, не производя деления, определять коэффициенты частного Q(at), а также остаток Практически вычисления осуществляются по следующей схеме, называемой схемой Горнера:

a0 a1 a2 … an ξ

b0 ξ b1 ξ … bn-1 ξ

b0 b1 b2 … bn = P(ξ)

Пример 1. Вычислить значение полинома

Р(х) = 3х3 + 2х2-5х +7 при x = 3.

Решение. Составляем схему Горнера:

3 2 -5 7 3

9 33 84_________

3 11 28 91 = P(3)

Замечание. Пользуясь схемой Горнера, можно получить границы действительных корней данного полинома Р(х).

Положим, что при x = β (β>0) все коэффициенты bi в схеме Горнера неотрицательны, причем первый коэффициент положителен, т. е.

b00>0 и bi 0 (i = 1, 2,..., п) (6)

Тогда можно утверждать, что все действительные корни xk (k=1, 2,...m; т п) полинома Р(х) расположены не правее β, т. е. xk β (k = 1, 2,...,m) (рис. 2).

В самом деле, так как

Р (х) = (b0xn-1 + … + bn-1) (x- β) + bп,

то при любом х>β в силу условия (6) будем иметь Р(х) >0, т. е. любое число, большее р, заведомо не является корнем полинома Р(х). Таким образом, имеем верхнюю оценку для действительных корней хк полинома.

Для получения нижней оценки корней xk составляем полином

(-1)пР(-х) = а0хп— а1xn-1+...+(- 1)паn.

Для этого нового полинома находим такое число x = α(α>0), чтобы все коэффициенты в соответствующей схеме Горнера были

x1 xm неотрицательны, за исключением

первого, который, очевидно, будет

-α 0 β x Р(x) положительным.Тогда со-

Рис. 2. гласно предыдущим рассуждениям

ных корней полинома (—1)nР(—x), очевидно, разных — xk(k=1, 2,...,m), имеем неравенство — xk α.

Следовательно, xk -α (k=1, 2,..., m). Таким образом, мы получили нижнюю границу -α действительных корней полинома Р(х).Отсюда следует, что все действительные корни полинома Р(х) расположены на отрезке [—α, β].

Пример 2. Найти границы действительных корней полинома

Р (х) = x 4 – 2 x 3 + З x 2 + 4х — 1.

Решение. Подсчитаем значение полинома Р(х), например, при x = 2. Пользуясь схемой Горнера, получим:

1 -2 3 4 -1 2

2 0 6 20

1 0 3 10 19

Так как все коэффициенты bi 0, то действительные корни хк полинома Р(х) (если они существуют) удовлетворяют неравенству xk<2. Верхняя граница действительных корней найдена. Перейдем к оценке нижней границы. Составим новый полином:

Q (x) = (-1)4Р(-х) = х4 + 2х3 + Зх2 - 4х - 1.

Подсчитывая значение полинома Q (x), например, при х=1, имеем:

1 2 3 -4 -1 1

1 3 6 2

1 3 6 2 1

Все коэффициенты bi>0, значит, -xk<1, т.е. xk>-1.

Итак, все действительные корни данного полинома нахо-дятся внутри отрезка [-1, 2].

 

Начало
Ввод x,n
S=0
i=1;n+1
Ввод k(i)
Вывод q
3.Блок-схема

 

 

i=1;n
S=S*x+k(i)
Вывод S
i=1;n+1
z=S*x+k(i)
Вывод P(x)
i=1;n+1
L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAXUFShMQA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPwWrDMBBE74H+g9hCbrFcQ0Nwo4RSKIQ2l7j5gK21 sZxYK0dSbefvo0Khx2Fm3jDr7WQ7MZAPrWMFT1kOgrh2uuVGwfHrfbECESKyxs4xKbhRgO3mYbbG UruRDzRUsREJwqFEBSbGvpQy1IYshsz1xMk7OW8xJukbqT2OCW47WeT5UlpsOS0Y7OnNUH2pfqyC 83dvxv3qesqr2g/yY+9318OnUvPH6fUFRKQp/of/2jutoHgu4PdMOgJycwcAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAF1BUoTEAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= "/>
abs(k[i])>abs(k[i+])
q=abs(k[i])
к=abs(k[i])/abs(k[1])+1 e=-w

 

 


Вывод e, w
Конец




Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ЛИСТ| Текст программы

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.013 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав