Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Комплексные числа.

9.1. Развитие представлений о числе.

Одним из основных понятий математики является число. В курсе высшей математики мы будем изучать, в основном, числовые множества. Понятие числа возникло в древности и на протяжении длительного времени подвергалось расширению и обобщению. Первые представления о числе возникли из счета предметов. Результатом счета являются числа 1,2,3,…. Такие числа называются натуральными и обозначаются N. На языке множеств можно записать следующим образом: N ={1,2,3,…}. Это множество замкнуто относительно операций сложения и умножения, но не замкнуто относительно операции «вычитание».Обеспечить эту замкнутость можно путем присоединения к N нуля и отрицательных чисел. Натуральные числа, противоположные им числа и 0 образуют множество целых чисел: Z ={0,1,-1,2,-2…}. Данное множество не замкнуто относительно операции «деление». Обеспечить эту замкнутость можно путем присоединения к Z всех дробей вида , где .В результате получим множество Q рациональных чисел. Q ={ : }. Это множество замкнуто относительно четырех арифметических операций, но не замкнуто относительно операции извлечения корня: так в нем не имеет решения уравнение x .Возникает потребность нового расширения запаса чисел. Делается это следующим образом. Любое рациональное число можно представить десятичной дробью: конечной или бесконечный периодической. Все бесконечные десятичные непериодические дроби образуют множество иррациональных чисел,присоединив которое к Q,получим множество действительных чисел R.R содержит все рациональные и иррациональные числа, т.е. является объединением двух множеств. Множество R можно изобразить в виде числовой оси, где каждая точка является изображением только одного действительного числа и наоборот каждому действительному числу соответствует одна вполне определенная точка на числовой оси. Числовая прямая полностью заполнена, а запаса действительных чисел не достаточно для разрешимости, например, уравнения x .Возникает задача нового расширения запаса чисел. Новое числовое множество, которое мы

хотим получить, должно содержать в качестве подмножества множество действительных чисел R, операции над новыми числами должны быть введены так, чтобы на множестве R они совпадали со стандартными операциями над действительными числами. Новое множество должно содержать элемент x, для которого x .При этом заметим, что на числовой прямой места для новых чисел уже нет.