Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Сопряженные комплексные числа. Свойства сопряженных чисел

Определение 3. Числа и называются сопряженными.

Свойство 1. Сумма и произведение двух комплекс­ных сопряженных чисел являют­ся действительными числами:

Доказательство.

Последнее равенство удобно использовать при де­лении комплексных чисел:

Пример 6. Решите уравнение

Решение. Пусть тогда и уравнение примет вид

Комплексные числа равны тогда и только тогда, ко­гда равны действительные и мнимые части.

Имеем систему

Ответ:

Пример 7. Вычислите:

Решение.

Ответ

Свойство 2. Число, сопряженное сумме двух ком­плексных чисел, равно сумме чисел, сопряженных данным, т.е.

Доказательство.

Пусть

Тогда

С другой стороны, значит,

Итак,

Свойство 3. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности чисел, сопря­женных данным, т.е.

Доказывается аналогично свойству 2.

Свойство 4. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению чисел, сопряженных данным числам, т.е

Доказательство.

Пусть

Тогда

С другой стороны, значит,

Итак,

Свойство 4 можно обобщить на случай произведе­ния любого конечного числа комплексных чисел:

Свойство 5.

Свойство6. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел (делитель отличен от нуля), равно частному чисел, сопряженных данным, т.е.

Доказательство.

С другой стороны,

Пример 8. Решите уравнение: Решение.

Ответ: