|
Опр.3. Если в алгебраической форме записи комплексного числа перейти к полярным координатам , то , поэтому . Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой числа.
Пример9. Записать в тригонометрической форме числа
,
Решение. Для определения аргумента изобразим комплексное число точкой M .Найдем дополнительный острый угол , tg = , = , argz = , Z .
. Для определения аргумента изобразим комплексное число точкой M .Найдем дополнительный острый угол , tg = , = , argz2= , Z .
В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть , , . Тогда
.
Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются. Очевидно, если , то , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Индукцией по показателю степени легко доказывается формула Муавра: если , то .
С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел.
Пример 10. Запишите в алгебраической форме число
Решение. Запишем число в тригонометрической форме: Тогда
или
Пример 11. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форме
Решение. , где модуль комплексного числа z; главное значение аргумента комплексного числа.
; ; ; .
Найдем модули и главные значения аргументов комплексного числа. Считаем, что .
.
.
.
,
.
Тогда
.
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 31 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |