|
В некоторых случаях несколько большей скоростью сходимости обладает метод хорд, у которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри отрезка, содержащего корень, учитывается величина невязки на концах отрезка: точка выбирается ближе к тому концу, где невязка меньше (но в некоторых случаях это может замедлить сходимость по сравнению с методом дихотомии).
Геометрический смысл заключается в замене кривой хордой. Очередное приближение находится как точка пересечения хорды с осью абсцисс.
Если - отрезок содержащий корень, то уравнение хорды
. (2)
Для точки пересечения хорды с осью абсцисс имеем
.
принимается за очередное приближение к корню. Далее выбирается тот из промежутков , на концах которого функция имеет значения разных знаков и т. д.. При этом, если дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно.
Если знаки и сохраняются на исходном промежутке, содержащем корень, то у всех получаемых промежутков один конец будет общим, а именно тот, на котором совпадают знаки функции и второй производной. Например, если, то последовательные приближения к корню вычисляются по формуле
(3)
и корень принадлежит последовательности вложенных отрезков
Если оставить неподвижным тот конец промежутка, где знаки и противоположны, то после вычисления получаем промежуток не содержащий корень уравнения. Дальнейшее развитие событий зависит от поведения конкретной функции и величины промежутка. Возможна как сходимость метода (при этом соседние приближения находятся по разные стороны от корня).
Рассмотрим сходимость метода хорд и оценки погрешности приближенных решений.
Пусть на исходном промежутке функция дважды дифференцируема, знаки и сохраняются и
Из формулы (3) получаем
.
Прибавляя слева и применяя к разности и
формулу конечных приращений (формулу Лагранжа), далее получаем
(4)
Из формулы (4) добавляя справа в скобке * и группируя члены, получаем
.
Так как знаки разностей и совпадают,
,
Причем и одного знака. Тогда
Следовательно,
(5)
где
Из (5) получаем
Отсюда следует, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при . В этом случае говорят, что метод сходится. И когда убывание погрешности приближенного решения характеризуется неравенством вида (5) говорят также, что метод имеет линейную скорость сходимости. (Сходится со скоростью геометрической прогрессии.)
Из формулы (4) также следует неравенство, в котором погрешность приближенного решения оценивается через разность двух последовательных приближений
(6)
Здесь и на рассматриваемом отрезке.
Другой вариант оценки погрешности приближенного решения через невязку дает сама формула конечных приращений
Отсюда (с учетом, что ) получаем
(7)
Фомы (6) и (7) позволяют установить, что для получения приближенного решения с заданной точностью (т.е. такого , для которого будет меньше заданного числа ) достаточно выполнить такое количество итераций , после которого будет выполнено хотя-бы одно из условий
или
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 30 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |