Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Степенной метод

Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор.

Пусть - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что

Берем произвольный ненулевой вектор . Строим последовательность векторов

, ,...,

Тогда

(38)

для любого номера i=1,2,...,n.

Точнее

(*)

Докажем это в предположении, что матрица A имеет n линейных независимых собственных векторов . Запишем разложение вектора по базису из собственных векторов

.

Тогда

Так как для k=2,...,n и для k=3,...,n, то отсюда следует, что при выполняется соотношение (*)

Взяв достаточно большой номер итерации m, мы сможем с любой степенью точности определить по формуле (38) наибольший по модулю корень характеристического уравнения для матрицы A. Для нахождения этого корня может быть использована любая координата вектора , в частности, можно взять среднее арифметическое соответствующих значений.

Так как , то при

.

Поскольку собственный вектор определяется с точностью до скалярного множителя, то сам вектор приближенно представляет собой собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .