Разделенные разности первого порядка 
Разделенные разности второго порядка 
и т.д.
Разделенные разности 
- го порядка:
(14)
Пусть 
многочлен степени 
. Разность 
обращается в нуль при 
, следовательно, она делится на 
. Тогда разделенная разность первого порядка 
- многочлен степени 
относительно 
(и относительно 
, так как выражение симметрично относительно и ).
Разность 
обращается в нуль при 
, поэтому, разделенная разность второго порядка
- многочлен степени 
.
Аналогично, 
- многочлен степени 
и т.д.
Разделенная разность порядка n: 
- многочлен нулевой степени.
Разделенные разности более высокого порядка обращаются в нуль.
Значение от не зависит, тогда 
Из определения разделенных разностей следует:
и т.д.
Отсюда получаем формулу для :
(15)
Разделенные разности в соответствии с рекуррентной формулой (14) выражаются через значения многочлена в узлах 
. Если - узлы интерполяции, 
- значения интерполируемой функции в этих узлах, то они однозначно определяют интерполяционный многочлен степени , значения которого в узлах совпадают с 
. Тогда разделенные разности многочлена совпадают с разделенными разностями функции 
. Поэтому интерполяционный многочлен можно записать в форме:
(16)
Эта форма называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.
Формула (17) более удобна для вычисления, чем запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа, т.к. добавление новых узлов интерполяции влечет вычисление только новых слагаемых, добавляемых к тому, что было вычислено с меньшим числом узлов. При использовании формы Лагранжа в этой ситуации требуется выполнять все вычисления заново.
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]
[Home|Кафедра|ПетрГУ] 3.4. Численное дифференцирование.
Каждая из рассмотренных ранее интерполяционных формул может быть использована для приближенного нахождения значений производных функции 
.
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 18 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |