В разделе 3.2.1. был приведен общий вид разностной схемы для многошаговых методов. В частности, для решения задачи Коши
, 
.
наиболее употребительными являются 
-шаговые методы вида
, 
, 
(12)
Рассмотренные нами в предыдущих разделах одношаговые методы являются частными случаями формулы (12). Например, при 
, 
, 
, 
получаем явную схему Эйлера.
Схема (12) будет явной, если (в таком случае она называется экстраполяционной). Значения 
будут тогда определяться из предыдущих значений по явной формуле
.
Вычисления начинаются с 
. Чтобы найти 
, надо знать значения сеточной функции 
. Значения 
приходится вычислять с помощью какого-нибудь другого метода (например, Рунге - Кутта), используя начальное условие 
. Если же 
, то схема (12) будет неявной (интерполяционной). Тогда для нахождения необходимо решать нелинейное уравнение
Это уравнение можно решать, например, методом Ньютона.
Погрешность аппроксимации схемы (12) определяется формулой
, (13)
где 
- точное решение задачи Коши. Если 
, то схема имеет порядок аппроксимации, равный 
.
Коэффициенты в схеме (12) выбираются из условий аппроксимации и устойчивости. Кроме того, поскольку коэффициенты схемы определены с точностью до постоянного множителя, можно считать, что
.
Второе условие можно получить из того факта, что функция 
есть решение дифференциального уравнения при 
. В таком случае из (12) имеем
.
Разлагая (13) по степеням 
и требуя, чтобы погрешность имела заданный порядок, получим остальной набор условий для нахождения 
.
Исторически первые многошаговые схемы появились способом, отличным от вышеизложенного. Если проинтегрировать дифференциальное уравнение на отрезке 
, то получим формулу
.
Заменяя теперь в этом соотношении интеграл некоторой квадратурной формулой, выведенной с помощью замены подинтегральной функции интерполяционным многочленом, построенным по узлам 
, получим разностную схему Адамса. Ее можно записать в виде 4.8. Явные схемы Адамса
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 15 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |