|
Для исследования сходимости рассмотрим погрешность разностной схемы в узлах сетки:
Пользуясь линейностью оператора (33) и введенными ранее безиндексными обозначениями, нетрудно установить, что погрешность в узлах сетки удовлетворяет разностной схеме
, (35)
где - погрешность аппроксимации.
Выведем оценку для погрешности в узлах сетки . Из соотношений (34) следует, что
, ,
поэтому схема (35) в прогоночном виде (31) запишется следующим образом:
, (36)
где . Предположим, что в исходном линейном дифференциальном уравнении (28) , . Тогда, в частности, имеет место неравенство:
(37)
Значения из схемы (36) можно найти, используя так называемый метод прогонки. Попробуем переписать схему в виде
, (38)
с неизвестными коэффициентами . Подставив в формулу (36) соотношение , получим
или
Таким образом, схема (36) разрешима в виде (38), если . В этом случае для получаем рекуррентные формулы:
, (39)
Для начального условия уравнение (38) принимает вид
,
откуда получаем начальные условия для уравнений (39): . Теперь можно вычислить все значения , , , а затем спуститься "вниз" по от до 1 и найти все значения по формуле (38).
Заметим, что если , то
и тогда из неравенства (37) и формул (39) следует, что
и .
Поскольку известно, что , то по индукции мы получаем, во-первых, разрешимость схемы (36) в виде (38), и во-вторых, справедливость неравенства
.
Следовательно, из формулы (38) можно вывести неравенство:
.
Учитывая, что , получаем соотношение: . Воспользуемся теперь рекуррентной формулой (39) для , умножив ее на положительную величину :
.
Тогда , следовательно,
,
учитывая, что . Наконец, поскольку , можно сделать вывод, что
.
Таким образом, для погрешности в узлах сетки можно записать неравенство
,
потому что . Переходя к нормам, получаем
,
то есть разностная схема (33) для краевой задачи (28)-(29) при условиях на коэффициенты (34) имеет второй порядок сходимости.
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 15 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |