|
Нехай у прямокутній системі координат х О у задано коло О (0; R).
Мал. 3.
Точка А належить колу (0; R), здійснює поворот на кут α в додатному напрямі в точку В (-х; у), 3 курсу геометрії відомо, що в прямокутному ΔВОС 
C = 90°, 
, 
, 
, 
Зі співвідношень видно, що значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса залежать від а, але не залежать від R. Тому R можна вважати рівним 1.
Коло радіуса 1 з центром у початку координат називатимемо одиничним колом.
Мал. 4.
1. Ординату точки Pα одиничного кола, яку дістали при повороті точки Рα (1; 0) на кут радіан, називають синусом кута α sinα=у, (-l 
у 1)
2. Абсцису точки Рα одиничного кола, яку дістали при повороті точки Рα(1; 0) на кут радіан, називають косинусом кута α. соsα=х, (-l х 1)
3.Тангенсомкута α називають відношення: 
, 
, 
.
4. Котангенсом кута a називають відношення: 
, 
, .
5. Секансом кута a називають відношення: 
,
6. Косекансом кута а називають відношення: 
, , .
Надалі вважатимемо, що всі кути виміряні в радіанній мірі, і тому позначення рад, як правило, опускається. Домовившись уважати одиницю вимірювання кутів (1 радіан) фіксованою, ми дістали можливість розглядати тригонометричні функції числового аргументу.
Наприклад: синус числа х — це синус кута в х радіан; косинус числа х – косинус кута в х радіан і т. д.
Поставивши відповідно до кожного дійсного числа х його синус (або косинус, або тангенс, або котангенс, або секанс, або косеканс), дістанемо функції:
у = sin х, у = cos х, у = tg х,
y = ctgx, y = secx, y = cosecx.
Для розв'язання ряду задач доцільно ознайомитися з лінією тангенсів та лінією котангенсів.
|
Мал. 5.
1. Проведемо дотичну l до кола О (0; 1) у точці Ро(1; 0). Нехай х — довільне число, для якого cos 
0. Тоді точка Рх (cos x; sin x) 
(Оу), а тому пряма ОРх перетне l у точці Sx, абсциса якої хs=1.
Знайдемо ординату ys. Прямій ОРх належать точки О (0; 0), Рх (cos x; sin x). Отже, маємо рівняння 
.
tgx = у => пряма l є лінією тангенсів.
2. Проведемо дотичну α до кола О (0; 1) у точці N(0; 1). Пряму α називають лінією котангенсів.
|
Знаки тригонометричних функцій Мал.6.
Значення тригонометричних функцій деяких кутів
| Функція | Значення кута в радіанах | |||||||
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| ||
| cin α | 
| 
| 
| -1 | ||||
| cos α |
|
|
| -1 | ||||
| tg α | 
| 
| 
|
| ||||
| ctg α | 
|
|
|
|
|
Основні тригонометричні тотожності
Тригонометричною тотожністю називають рівність, у яку входять тригонометричні функції і яка задовольняється довільним припустимим значенням кута (аргументу тригонометричних функцій).
Основні тригонометричні функції одного й того самого аргументу:
sin2 α + cos2 α = 1 для всіх α є R.
, 
, . , 
, .
, , . , , .
З п'яти основних тотожностей випливає три допоміжних (похідних) тотожності:
, 
, .
, , .
, , .
Основні тригонометричні тотожності дозволяють за значенням однієї з тригонометричних функцій знайти значення всіх інших.
Наприклад. Визначити значення тригонометричних функцій кута а, якщо 
і 
Розв'язання:
. , 
.За формулою 
;
.Оскільки , то 
, звідки 
.
; 
. 
,звідки 
.
, 
, 
.
Ураховуючи , то 
, звідки 
.
Відповідь:
, , 
, , .
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 45 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |