|
Мета: Розглянути похідну функції двох змінних за напрямом.
Область простору, кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини , називають скалярним полем.
Наприклад: поле температури даного тіла, поле атмосферного тиску.
Якщо функція не залежить від часу, то скалярне поле – стаціонарне, а скалярне поле, що міняється з часом – нестаціонарне.
Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат 0ХУ, то скалярне поле стане функцією цих координат: = . Якщо скалярна функція залежить від двох змінних = , то скалярне поле називають плоским. Якщо скалярне поле задане функцією = , то воно – просторове. Геометрично плоскі скалярні поля зображають за допомогою ліній рівня, а просторові – за допомогою поверхонь рівня.
Швидкість зміни поля в заданому напрямі визначає похідна за напрямом.
Нехай маємо скалярне поле = . Візьмемо в ньому точку М і проведемо з цієї точки вектор з напрямними косинусами і . На векторі на відстані від його початку візьмемо точку М1 .
у
М1
М
х
. Обчислимо приріст функції при переході від точки М до М1 в напрямі вектора . Якщо існує границя відношення , то при цю границю називають похідною функції в точці М за напрямом вектора і позначають .
Повний приріст функції в точці М можна записати так:
, причому, , . Отже,
- похідна функції за напрямом показує швидкість зміни поля в деякій точці за вказаним вектором. Причому, абсолютна величина похідної відповідає значенню швидкості, а знак похідної визначає характер зміни функції в напрямі вектора (зростає чи спадає).
Для функції багатьох змінних при виведенні похідної функції в точці по напряму вказаного вектора всі міркування аналогічні.
Наприклад: Знайти похідну функції в точці А(1;2) за напрямом від точки А до точки В(2;4).
Розв’язання: Знаходимо вектор (1;2) і його напрямні косинуси , . Обчислимо значення частинних похідних у точці А: , . >0, отже, в даному напрямку ця функція зростає.
Відповідь: . Функція у вказаному напрямі зростає.
Запитання для самоконтролю:
- Що таке скалярне поле7
- Які поля стаціонарні?
- Записати формулу для складання та обчислення похідної по напряму.
Знати: таблицю похідних,означення похідної в точці за вказаним напрямом, напрямні косинуси вектора.
Вміти: складати похідну функції багатьох змінних за напрямом. Знаходити напрямні косинуси.
Література: [1]гл.6§3.
Завдання:
Знайти похідну функції в точці А(1;2) за напрямом від точки А до точки В(2;4)
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 479 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |