Мета: Означити умовний екстремум функції та формувати навички його обчислення методом множників Лагранжа.
Нехай в області D задано функцію z = f(x; у) і лінію L, яка визначається рівнянням 
(х; у) = 0 та лежить у цій області.
Задача полягає в тому, щоб на лінії L знайти таку точку М (х; у) в якій значення функції f(х; у) є найбільшим або найменшим порівняно із значенням цієї функції в інших точках лінії L. Такі точки М називають точками умовного екстремуму функції: f(х; у) на лінії L.
Назва „умовний екстремум” пов’язана з тим, що змінні х та у мають додаткову умову: (х; у) = 0.
Рівняння (х; у) = 0 називають рівнянням зв’язку; якщо це рівняння можна розв’язати відносно однієї змінної, у = (х), то підставляючи (х) в z = (х; у) дістанем z = f (х; (х)) – функцію одної змінної. Задача знаходження умовного екстремуму зводиться до задачі на звичайний екстремум функції одної змінної.
Не завжди рівняння зв’язку розв’язується відносно х або у. Тоді задача розв’язується так:
z =f (х; у); у = (х) – складена функція з необхідної умови екстремуму
- похідна наявної функції у, що задана рівнянням зв’язку.
(х; у) = 0:
= – 
, то 
, 
, то 
, 
стаціонарні точки умовного екстремуму задовольняють систему рівнянь
(х; у) = 0
Знаходження умовного екстремуму функції z =f (х; у) звелось до заходження звичайного екстремуму функції
F (x; у; 
) = f (х; у)+ 
(х; у) – функція Лагранжа, - множник Лагранжа. Це лише необхідні умови. Вони дають змогу знайти стаціонарні точки умовного ектремуму.
Сам характер умовного екстремуму (достатні умови) можна встановити за знаком диференціала другого порядку функції Лагранжа:
якщо d2F > 0 – точка умовного мінімуму;
d2F < 0 – точка умовного максимуму.
Наприклад: Знайти найбільше значення функції: z = ху, якщо х та у додатні і задовольняють рівняння зв’язку 
Розв’язання: Функція Лагранжа F (x; у; ) = ху+ 
Знайдемо стаціонарні точки функції
;
у+ 
;
х+ у=0;
х> 0, у> 0,
звідки х=2, у=1, =-2. Отже, М(2; 1; -2) – стаціонарна точка.
Знайдемо другий диференціал функції Лагранжа при =-2
d2F= - 
dx2+ 2dx dу - 2 dу2+(у- 
d2x + (x-2у)d2у
З рівняння зв’язку dу(2;1)= - dx,
d2F(М)= - dx2+2dx (- dx) – 2(- dx)2= –2dx2< 0, то (2;1) – точка умовного максимуму для z = ху. z max =2.
Відповідь: 2.
Запитання для самоконтролю:
1. В чому полягає задача на відшукання умовного екстремуму?
2. Що таке функція Лагранжа?
3. Що таке множник Лагранжа?
Знати: Частинні похідні вищих порядків для функції багатьох змінних, таблицю похідних, достатні умови існування екстремуму.
Вміти: Досліджувати функцію на екстремум за допомогою функції Лагранжа.
Література: [ 1] гл. 6, § 3,6
Завдання:
За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму:
0) z = 2x2+у2, 2х+3у=5
1) z = x2– у2, 3х + 4у= 12
2) z = 3x2+ 2у2– 3х+1, х2+у2= 4
3) z = х2– у2, х– у= 4
4) z = (х– 3)2+ (у– 5)2, -х+2у=–5
5) z = (х– 1)2+ (у– 3),2 2х– у=5
6) z = 2xу+у2, 2х+4у=8
7) z = 2(х– 1)2+ 3(у– 3)2, х+у= 5
8) z = 3xу2+2у2
2х + 3у = 4
х+2у= 8
9) z = (х– 1)2+ (у– 3)2, 3х+6у = 30
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 281 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |