Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лінійні та однорідні рівняння І порядку.

Мета: Засвоїти основні способи розв’язування лінійних та однорідних диференціальних рівнянь І порядку.

Диференціальне рівняння виду у^/+ p(х) у= f(x), - де p(х) і f(x) – задані функції, називається лінійним диференціальним рівнянням І порядку.

Якщо f(x)= 0, то рівняння виду у^/+ p(х) у= 0 – лінійне однорідне. Це рівняння з відокремлюваними змінними.

Якщо f(x)≠ 0, то це – лінійне неоднорідне рівняння і може бути розв’язане підстановкою у= u·V, у^/= u^/·V+ u·V^/.

Після підстановки маємо u·V^/+ u^/·V+ p(х) u·V= f(x),

u·V^/+ u·(u^/+ p(х) u)= f(x)

Нехай u така функція, що u^/·+ p(х) ·u= 0, тоді u – розв’язок лінійного однорідного рівняння, що відповідає даному неоднорідному. V можна знайти із рівняння u·V^/= f(x).

Відповідь: у= u·V

Наприклад: Розв’язати рівняння

у^/– = х²

Розв’язання: Позначимо у= u·V

Маємо: u^/·V+ u·V^/– =х²

u·V^/+ V(u^/– )=х²,

u^/– =0 u·V^/= х²

= , х·V^/= х²

dV= xdx

V= +c

ln│u│= ln│x│ у= х( +с)

u=х у= +сх

Відповідь: у= +сх.

Запитання для самоконтролю:

– Що називається однорідним диференціальним рівнянням І порядку?

– Що називається лінійним рівнянням І порядку? Описати його інтегрування.

Література: [1 ] гл.8; [4 ] § 35 (ІІч); [ 12] § 484-487

Знати: Вид лінійних та однорідних диференціальних рівнянь І порядку, підстановку Бернуллі, таблицю інтегралів та методи інтегрування функцій, зміст задачі Коші.

Вміти: Розв’язувати лінійні та однорідні диференціальні рівняння І порядку різними способами, розв’язувати задачу Коші.

Завдання:

1. Розв’язати лінійне диференціальне рівняння І порядку:

0) у^/= = ; 5) ху^/+у= ху² ln х;

1) у^/+ = ; 6) ху– 2х²у^/= 4у;

2) у^/+2ctg x ∙ у= ; 7) у^/+х =2у;

3) у^/+ у= х²; 8) у^/– 2ху= х ^-х

4) (2ху= 3) dу – у²dx=0; 9) у^/+ у²= 2х^-4

2. Розв’язати задачу Коші:

0) у^/– 2у= 1; у(0)= 0,5; 5) х(у^/– хcosх)= у; у()=

1) у^/– у= х; у(1)= 1; 6) ху^/+у= sin x; у()=

2) 2у^/–у= ^х; у(0)= 5;

3) – 2ху= ^х ; у(2)= 0; 7) х²у^/+2ху= –4; у(–1)= 0;

4) х^/– = t^{3 t-1}; у(1)= -2; 8) у^/+у= 2; у(5)= 6;

9) у^/– =2х⁴; у(2)=1.