|
Третье важное свойство нелинейных систем вытекает из частого возникновения в них процессов с усиливающей обратной связью. В линейных системах малые изменения производят малые эффекты, а значительные эффекты являются следствием либо больших изменений, либо суммы множества мелких изменений. В нелинейных системах, напротив, мелкие изменения могут вызвать драматический эффект, если они многократно усиливаются через обратную связь. Такие нелинейные процессы с обратной связью лежат в основе неустойчивости и внезапного появления новых форм порядка, столь характерных для самоорганизации.
Математически петля обратной связи соответствует особому типу нелинейного процесса, известному как итерация (латинское «повторение»); в этом процессе функция многократно применяется к себе самой. Например, если функция состоит в умножении переменной на 3, т. е. f(x) = Зх, то итерация заключается в многократном умножении. В математике это записывается так:
х → Зх
Зх → 9х
9х → 27х
и т. д.
Каждый из этих шагов называется отображением. Если мы представим себе переменную х в виде числовой оси, то операция х — > Зх отображает каждое число на другое число на этой же оси. В более общем случае отображение, состоящее в умножении х на постоянное число /с, записывается в виде:
х → kх.
Часто встречаемой в нелинейных системах итерацией, очень простой и в то же время производящей огромную сложность, является отображение:
х → kх(1 - х),
где переменная х ограничена значениями от 0 до 1. Это отображение, известное математикам как логистическое, имеет много важных приложений. Его, например, используют экологи для описания роста населения при противоположных тенденциях, и поэтому оно также известно как уравнение роста8.
Исследование итераций разнообразных логистических отображений представляет собой увлекательное упражнение, которое можно легко осуществить с помощью карманного калькулятора9. Чтобы понять существенную особенность этих итераций, снова выберем значение k=3:
х → Зх(1 - х).
Переменную х можно представить в виде участка оси от 0 до 1, тогда очень просто вычислить отображения для нескольких точек, например
0 → 0(1 - 0) =0
0.2 → 0.6 (1 - 0.2) = 0.48
0.4 → 1.2 (1 - 0.4) = 0.72
0.6 → 1.8 (1-0.6) = 0.72
0.8 → 2.4 (1 - 0.8) = 0.48
1 → 3(1-1) =0.
Отметив эти числа на двух участках оси, можно увидеть, что величины от 0 до 0,5 отображаются числами от 0 до 0,75. Таким образом, 0,2 превращается в 0,48, а 0,4 становится 0,72. Числа от 0,5 до 1 отображаются на том же участке, но в обратном порядке. Так, 0,6 превращается в 0,72, а 0,8 становится 0,48. Общий эффект показан на рис. 6-6. Отображение растягивает отрезок от 0 до 1,5, а затем снова сворачивает его так, что значения пробегают от 0 до 0,75 и обратно.
Итерация этого отображения выльется в повторяющееся растягивание и сворачивание операций подобно тому, как пекарь вновь и вновь месит тесто, сворачивая и растягивая его. Эту итерацию очень удачно назвали преобразованием пекаря. По мере того как происходит растягивание и сжимание, соседние точки на отрезке будут все дальше и дальше расходиться, и предсказать, где окажется определенная точка после множества итераций, становится невозможно.
Даже самые мощные компьютеры округляют свои вычисления, ограничивая количество цифр после точки; и после большого количества итераций даже мелкие погрешности округления складываются в значительную неопределенность, исключая любые предсказания. 11реобра-зование пекаря есть прототип нелинейных сверхсложных непредсказуемых процессов, обозначаемых специальным термином «хаос».
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 13 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |