Читайте также:
|
Обозначения и определения. Определитель квадратной матрицы n-го порядка определяется более сложным образом. Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
.
Отметим, что определитель матрицы – это число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по ее элементам.
çАç = detA = 
.
Прежде, чем формулировать закон раскрытия определителя высшего порядка, введем понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором, соответствующим данному элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которого стоит данный элемент.
Миноры будем обозначать заглавными буквами Мij.
Алгебраическим дополнением элемента aij в определителе detA называется число минор, взятый со знаком (-1)i+j
Aij = (-1)i+jMij. (5)
Легко видеть, что алгебраическое дополнение элемента aij совпадает со значением дополнительного минора Mij, если (i+ j) число четное, и противоположно Mij, если (i + j) - нечетное число.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения.
Таким образом, имеем равенство
çАç = detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin, (6)
для i = 1,2, …, n.
Равенство (6) называется разложением определителя по i-той строке.
На основании первого свойства определителей, то такое же разложение имеет место и для элементов произвольного столбца.
Определитель равен сумме произведений элементов любого столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
çАç = detA = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj, (7)
где j = 1, 2, …, n. Равенство (3) называется разложением определителя по j-тому столбцу.
Матрица порядка 1 состоит из одного числа, и ее определитель считается равным этому числу.
Если применить это определение к квадратной матрице второго порядка
,
то получаем М11 = a22, М12 = a21. Следовательно,
çАç = 
что согласуется с определением, данным в п.1, формула (2).
Все свойства, полученные для определителя третьего порядка, присущи и определителям произвольного порядка.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, т.е. çАç¹0, и наоборот, если определитель квадратной матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной.
Практический способ вычисления определителя. Практическое вычисление определителей основано на формулах (6) и (7) разложения определителя по строке или столбцу. Сначала рассмотрим частные случаи определителей, вычисление которых тривиально.
1. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали
2. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали
Основываясь на свойствах определителей и выполняя элементарные преобразования (как строчные, так и столбовые), определитель можно привести к треугольному виду.
Заметим, что равенство (6) принимает особенно простой вид, если в i-ой строке определителя все элементы, за исключением, быть может, одного, скажем aij, равны нулю. В таком случае получаем
det A= aij Aij = (-1)i+j aijMij.
Следовательно, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению одного определителя (n-1)-го порядка.
Если в исходном определителе нет строки или столбца с нужным количеством нулей, то выполняем элементарные преобразования с тем, чтобы в выбранной строке или столбце получить нули.
Приведем пример. Вычислить определитель
Решение. В последнем столбце есть уже нуль, поэтому преобразуем определитель так, чтобы в этом столбце получить все элементы, равные нулю, кроме a24.
К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2; к третьей строке прибавим вторую. Получаем определитель, равный D:
Разложим этот определитель по 4-му столбцу:
Вычтем из 1-ой строки 3-ю строку
Разложим этот определитель по первой строке:
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 32 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |